Bonjour,
bon ben je sais pas ce qu´il s´est passé, j´ai déjà écrit ce message, mais il n´est pas apparu, il a disparu quelquepart sur le net.
Il s´agit d´une question de définition: Dans le cadre des intégrales curvilignes, je suis tombé sur les ouverts simplement connexes, et je ne sais pas ce que c´est.
Quelqu´un peut-il m´expliquer ce que c´est? merci d´avance
Christophe
Salut,
Un ouvert U est dit simplement connexe s'il est connexe et "s'il n' a pas de trou". Dit dans un cadre plus mathématique, il faut regarder les groupes d'homotopie pour un ouvert U connexe que l'on peut définir comme suit:Envoyé par christophe_de_Berlin
Soit X_x l'ensemble des courbes paramétrées continues de [0,1] à valeur dans U et fermées, ie telles que f(0) = f(1) = x dans U muni de la classe d'équivalence R: 2 courbes f et g sont R-équivalentes si il existe une déformation continue de f sur g, tout en restant dans la classe des chemins de [0,1] à valeur dans U. On peut s'apercevoir assez facilement que c'est muni d'une structure de groupe (grosso modo, pour composer deux chemins, on les recolle).
Comme U est connexe et ouvert, il est notamment connexe par arc et cela permet de montrer qu'en fait les groupes X_x et X_y sont isomorphes pour tout x et y dans U. Du coup, on appelle ce groupe le groupe H d'homotopie de U.
Si H = {1}, alors U est dit simplement connexe.
Comme je le disais plus haut, ça recoupe la notion de trou. Par exemple, pour une boule en dimension 2 il est facile de voir que tout lacet peut être déformé de façon continue en le lacet identité ie le lacet qui laisse invariant tout point. Du coup, le groupe est trivial.
Par contre, si tu regardes la sphère unité de R^2, l'intuition nous dit qu'il y a un trou, et effectivement, cela revient à dire que tu ne peux pas déformer un chemin en un autre de façon continu à moins qu'ils ne réalisent exactement le même nombre de tours. Ainsi, dans ce cas, le groupe d'homotopie estet chaque élément est indicé par son nombre de tours.
En gros, plus le nombre de tours est grand, plus le groupe d'homotopie est dégueu, mais là, il y a certainement des gens plus précis que moi sur ce sujet (homotopie ?).
Mais quand l'ouvert est simplement connexe, il vérifie certaines propriétés différentielles très sympathiques, par exemple la propriété qui dit qu'une différentielle exacte est fermée et réciproquement, ce qui n'est pas vrai s'il y a des trous.
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rvz
est-ce qu'on ne peut pas juste dire que tout lacet est homotope à (peut être déformé continûment en) un lacet constant, sans parler du groupe fondamental?
bon ben c´est gentil, mais c´est un peu trop fort pour moi, car je ne sais même pas ce qu´est une homotopie. Peut-être faut-il que j´attende d´être à la grande école pour ça, tout ça sent la topologie bien bien poussée. À quel niveau voit-on tout ça? En année de licence?
salut,
c'est peut-être formallement compliqué mais intuitivement assez facile à comprendre. Si tu as accès à une bibliothèque universitaire, je te recommande de lire le petit livre suivant:
B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8
il donne une dizaine de preuves différentes du théorème de d'Alembert-Gauss, et au passage il introduit un certain nombre de notions avances, comme l'homotopie et l'homologie, mais d'une façon très simple (simplifiée). C'est une bonne introduction, qui donne envie d'en savoir plus.
Oui, effectivement, c'est bien plus simple. En tout cas, c'est certainement plus clair pour Christophe_de_Berlin. Désolé Christophe de t'avoir perdu dans le concept, je n'ai pas pensé à donner cette caractérisation plus élémentaire et tout aussi rigoureuse.
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rvz
Ou la la, te fait pas de bile, même cette "caractérisation plus élémentaire" je l´ai pas bien comprise, vu que j´ai jamais entendu parler de cette histoire de lacet, alors pour moi, ça fait pas trop de différence, mais je m´en vais de ce pas voir ce bouquin recommendé par Ambrosio.
merci
mais la description informelle de rvz :"pas de trou" est celle qu'il te faut retenir.
oui mais ça veut dire quoi "pas de trous". J´ai vu dans un petit dessin que la courbe gamma par exemple ne "rencontre" pas de points limites du domaine de définition. Est-ce ça a avoir avec ça?
tu as vu les fonctions holomorphes?
Je ne crois pas.
Exemple d'ouvert simplement connexe R².
Si on prend un lacet, càd une application continue c de I=[0;1] dans R² tel que c(0)=c(1) (autrement dit c'est une courbe fermée ou un chemin fermé), peut-on le déformer continuement (sans casser le lacet si celuic-i était un objet physique) tout en restant dans l'espace d'arrivée R² pour arriver au lacet trivial c0(t)=O pour tout t (en guise de chemin on reste sur place, un peu monotone comme balade).
Réponse oui : il suffit de replier R² en entier :
F:[0;1]xR²->R² F(t,x)=(1-t)x En t=0, tout les points de R² sont envoyés sur eux-même en t=1, tous les points sont envoyés sur O. Il suffit de prendre cette déformation de tout l'espace pour déformer notre lacet.
(Tous les espaces simplement connexes ne peuvent pas être contractés ainsi, la sphère creuse de dimension 2, intuitivement on peut replier tous les lacets dessinés sur cette surface sans casser le lacet (à montrer proprement c'est plus technique) par contre contracter tout l'espace en un point est imposible, l'intuition nous dit que le "trou" à l'intérieur de la sphère va gêner et cette intuition est juste même si là aussi ce n'est pas tout à fait évident de le montrer)
Maintenant a-t-on encore cette propriété de contraction de tous les lacets si on fait un "trou" dans R², càd R² privé d'un point est-il simplement connexe ?
Non, un lacet qui fait un tour (dans le sens intuitif) autour de ce trou ne peut pas être contracté en un lacet constant (preuve un peu technique là aussi).
Un disque ouvert privé d'un ou d'un nombre fini de points ou d'un disque fermé totalement inclus dans le premier est-il simplement connexe ? Non plus, il y a des "trous".
Un ouvert convexe, un ouvert étoilé (il existe au moins un point A tel que pour tout autre point B [AB] est dans l'ouvert ; le nom est évoque bien l'idée) sont simplement connexes.
En dimension 3, R^3 privé d'un point est simplement connexe (on a de la place désormais pour contourner ce point) mais R^3 privé d'une droite n'est pas simplement connexe.
J'espère que cela t'aidera à appréhender cette notion très intuitive mais parfois très technique.
ben euh... non
ah, ben, tant pis... On y calcule des intégrales sur des contours fermés (dans C) et il faut tenir compte des trous éventuels à l'intérieur de ces contours. Il y a une introduction dans l'excellent livre que j'ai cité.ben euh... non
Tu connais pas un livre ou un sîte en français?
