Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 27 sur 27

Heine-Borel ou connexe compact



  1. #1
    Quinto

    Heine-Borel ou connexe compact


    ------

    Salut,
    si j'ai un ensemble C connexe et aussi compact.
    Puisqu'il est compact, de toute recouvrement d'ouvert, je peux en extraire un recouvrement fini d'ouverts.
    Mais comme il est connexe, je me dis que si j'ai un recouvrement d'ouverts connexes (domaines), je peux en extraire un recouvrement fini d'ouvert connexes.

    Cependant, est ce que je suis sur que pour tout compact connexe, je peux le recouvrir par des ouverts connexes?

    Qu'en pensez vous?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    BS

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Si X est compact et connexe, X est un ouvert connexe qui recouvre X. C'était pour la réponse sans intérêt

  4. #3
    Quinto

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Je t'assure que je l'avais aussi cette réponse sans interet
    C'était pour voir si je pouvais montrer ainsi que la dérivée extérieure d'une n-1 forme s'annulait forcément en un point, sur une variété compacte orientée à bord de dimension n, j'avais besoin de la connexité, comme sur mon précédent post... je devais considérer les composantes connexes...
    grrr!!
    Merci

  5. #4
    C.B.

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par Quinto
    Salut,
    si j'ai un ensemble C connexe et aussi compact.
    Puisqu'il est compact, de toute recouvrement d'ouvert, je peux en extraire un recouvrement fini d'ouverts.
    Mais comme il est connexe, je me dis que si j'ai un recouvrement d'ouverts connexes (domaines), je peux en extraire un recouvrement fini d'ouvert connexes.
    Tu n'a pas besoin du fait que X soit connexe : Si tu as un recouvrement d'ouverts, tu peux en extraire un sous recouvrement fini.
    Donc, si tu as un recouvrement d'ouvert connexe, le sous recouvrement sera un recouvrement fini d'ouverts connexes.
    Mais j'ai la vague impression de mal comprendre la question

    Citation Envoyé par Quinto
    Cependant, est ce que je suis sur que pour tout compact connexe, je peux le recouvrir par des ouverts connexes?
    Je suppose que tu veux une propriété supplémentaire à ces ouverts connexes ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    matthias

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Tu peux toujours construire un recouvrement par des ouverts connexes en considérant une famille de boules ouvertes centrées sur chacun des points de l'ensemble, non ?

  8. #6
    martini_bird

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Salut,

    si je comprends bien, il te faut au final un recouvrement fini d'ouverts connexes.

    Maintenant, si tu disposes d'un recouvrement d'ouverts connexe, puisque X est compact, il en existe un sous-recouvrement fini, donc constitué de connexes.

    Par contre, si tu as un recouvrement d'ouverts quelconque, il suffirait que dans le sous-recouvrement fini obtenu par compacité, chacun des ouverts ait un nombre fini de composantes connexes.
    A la louche, ça m'a l'air vrai, mais c'est pas une démonstration.

    Cordialement.

  9. Publicité
  10. #7
    martini_bird

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Un essai:

    supposons donné un recouvrement d'ouverts de X: par compacité, on a un sous-recouvrement fini .

    Supposons que admette une infinité de composantes connexes : prenons dans chaque un point . Comme X est compact, la suite admet une valeur d'adhérence . Soit un voisinage de : il contient une infinité de composantes : on peut alors remplacer par la réunion de et des composantes restantes. Ainsi, le tour est joué: si était la seule valeur d'adhérence, on a un nombre fini de composantes connexes dans le nouvel ouvert. Sinon, il suffit d'itérer le procédé.

    Ca tient la route?

  11. #8
    BS

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par matthias
    Tu peux toujours construire un recouvrement par des ouverts connexes en considérant une famille de boules ouvertes centrées sur chacun des points de l'ensemble, non ?
    On n'est pas dans un espace métrique, et même dans un espace métrique les boules n'ont aucune raison d'être connexes...

  12. #9
    BS

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par martini_bird
    Ca tient la route?
    Ben y a pas de raison que le procédé termine en fait.

    Mais je crois que je n'ai toujours pas compris ce qu'il fallait démontrer...

  13. #10
    C.B.

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Si on considère l'ensemble , c'est un compact de R, il ne peut pas être recouvert par un nombre fini d'ouverts connexes car il a une infinité de composantes connexes.

  14. #11
    martini_bird

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par BS
    Mais je crois que je n'ai toujours pas compris ce qu'il fallait démontrer...
    Il me semble que la question est: peut-on obtenir un recouvrement fini d'ouverts connexes quand on a un recouvrement d'ouverts sur X compact et connexe?

    Citation Envoyé par BS
    Ben y a pas de raison que le procédé termine en fait.
    Mouais, il peut y avoir une infinité de valeurs d'adhérence . Mais alors cette suite admet une valeur d'adhérence , donc un voisinage de contient une infinité de . Mais il peut y avoir une infinité de , ...

    Il n'y a pas un argument qui permette de conclure? On est quand même dans un compact!

  15. #12
    martini_bird

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par C.B.
    Si on considère l'ensemble , c'est un compact de R, il ne peut pas être recouvert par un nombre fini d'ouverts connexes car il a une infinité de composantes connexes.
    Ok, mais si X est connexe? :confused:

  16. Publicité
  17. #13
    BS

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par martini_bird
    Il me semble que la question est: peut-on obtenir un recouvrement fini d'ouverts connexes quand on a un recouvrement d'ouverts sur X compact et connexe?
    Mais que doivent vérifier ces ouverts par rapport au recouvrement initial exactement ? Un recouvrement plus fin d'ouverts connexes par exemple ? Là je n'y crois pas...

  18. #14
    Quinto

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Salut,
    en fait j'ai un espace de Hausdorff M (en fait une variété) compacte
    J'ai pris une composante connexe C, et je voulais savoir si je pouvais la recouvrir uniquement pas des ouverts connexes...
    Rien de tellement plus compliqué...

  19. #15
    martini_bird

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par BS
    Mais que doivent vérifier ces ouverts par rapport au recouvrement initial exactement ? Un recouvrement plus fin d'ouverts connexes par exemple ? Là je n'y crois pas...
    Non, la propritété de Borel (-Heine-Lebesgue pour oublier personne ) est la suivante:
    De tout recouvrement d'un espace topologique compact E par des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini.

    Il s'agit ici de voir si, quand E est en outre connexe, on peut obtenir un recouvrement fini avec des ouverts connexes.

    Enfin, c'est comme ça que j'ai compris la question.

  20. #16
    BS

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par martini_bird

    Il s'agit ici de voir si, quand E est en outre connexe, on peut obtenir un recouvrement fini avec des ouverts connexes.

    Enfin, c'est comme ça que j'ai compris la question.
    Mais voilà qu'entends-tu exactement par obtenir ? Visiblement pas par extraction du recouvrement initial (il se peut qu'aucun ouvert ne soit connexe) ?
    Cela pourrait aussi être obtenir un recouvrement à partir de toutes les composantes connexes des ouverts du recouvrement initial, mais dans ce cas c'est évident vu que l'on par d'un recouvrement par des connexes.
    La dernière possibilité est juste existe-t-il un recouvrement fini de X par des ouverts connexes, mais dans ce cas je suis assez sceptique sur l'intéret de la question étant donné que le recouvrement (X) convient trivialement.

    Après ce qui peut être très utile, c'est : peut-on obenir un recouvrement par des ouverts simplements connexes, ou même contractiles, et dans le cas d'une variété, c'est possible.

  21. #17
    martini_bird

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par BS
    Mais voilà qu'entends-tu exactement par obtenir ? Visiblement pas par extraction du recouvrement initial (il se peut qu'aucun ouvert ne soit connexe) ?
    Oui c'est celà.
    Désolé pour mon manque de précision.

  22. #18
    matthias

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par BS
    Mais voilà qu'entends-tu exactement par obtenir ? Visiblement pas par extraction du recouvrement initial (il se peut qu'aucun ouvert ne soit connexe) ?
    Cela pourrait aussi être obtenir un recouvrement à partir de toutes les composantes connexes des ouverts du recouvrement initial, mais dans ce cas c'est évident vu que l'on par d'un recouvrement par des connexes.
    évident c'est vite dit, non ?
    Dans un espace localement connexe, les composantes connexes d'un ouvert sont ouvertes, et donc la réunion des composantes connexes de tous les ouverts d'un recouvrement forme bien un recouvrement par ouverts connexes.
    Mais un espace peut être connexe sans être localement connexe.

  23. Publicité
  24. #19
    µµtt

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Salut quinto,


    Je suis pas sûr de comprendre et je vais surement proposer un truc à côté du problème mais :

    [0..2] est compact connexe recouvert par les deux ouverts :
    ]-1..1[ union ]1..2[
    et ]0..3[

    Mais on peut pas trouver de sous-recouvrement (y'en a pas de strict !) avec des ouverts connexes.


    Hope ça helps un peu

  25. #20
    matthias

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    [0;2] n'est pas un ouvert de IR avec la topologie usuelle mais c'est un ouvert de [0;2]

  26. #21
    µµtt

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Certes, et ?

  27. #22
    matthias

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par µµtt
    Certes, et ?
    et il est connexe

    c'est donc un recouvrement strict, non ?

    Mais si on se plce dans un espace plus grand (IR) je ne sais pas si la notion de recouvrement strict est vraiment utile

  28. #23
    C.B.

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par matthias
    et il est connexe

    c'est donc un recouvrement strict, non ?

    Mais si on se plce dans un espace plus grand (IR) je ne sais pas si la notion de recouvrement strict est vraiment utile
    Mais ce n'est pas un sous recouvrement : [0;2] n'appartenant pas au recouvrement initial d'ouverts.
    par contre, je ne vois pas l'intérêt des sous recouvrements stricts

  29. #24
    matthias

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    OK, j'avais pas noté le "sous", désolé.
    Mais le but est de trouver un recouvrement, pas un sous-recouvrement à partir d'un recouvrement initial.

  30. Publicité
  31. #25
    µµtt

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    >> l'intérêt des sous recouvrements stricts

    C'est juste un contre exemple simple où, comme il n'y a pas de sous-recouvrement strict, il n'y a pas de sous-recouvrement avec des ouverts tous connexes.


    >> le but est de trouver un recouvrement

    Ah bon ? c'est ça la question ???

  32. #26
    matthias

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    ben, il me semble, mais c'est une bonne question.

  33. #27
    BS

    Re : Heine-Borel ou connexe compact

    Citation Envoyé par matthias
    évident c'est vite dit, non ?
    Dans un espace localement connexe, les composantes connexes d'un ouvert sont ouvertes, et donc la réunion des composantes connexes de tous les ouverts d'un recouvrement forme bien un recouvrement par ouverts connexes.
    Mais un espace peut être connexe sans être localement connexe.
    Effectivement j'ai dit une grosse bêtise.
    Bon alors maintenant je triche :
    Quinto a dit qu'il considérait des variétés, et elles sont localement connexes

Discussions similaires

  1. Theoreme de Heine.
    Par Le lyceen59155 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 21/11/2007, 20h27
  2. Loi de Borel
    Par Bruno dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 23/08/2007, 07h34
  3. Démonstration de Borel et Lebesgue
    Par Gpadide dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 9
    Dernier message: 18/11/2006, 13h31
  4. Connexe et connexe par arc ...
    Par limitinfiny dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 15/11/2006, 12h04
  5. un domaine simplement connexe?
    Par etudes_05 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 15/01/2005, 14h44