Salut,
si j'ai un ensemble C connexe et aussi compact.
Puisqu'il est compact, de toute recouvrement d'ouvert, je peux en extraire un recouvrement fini d'ouverts.
Mais comme il est connexe, je me dis que si j'ai un recouvrement d'ouverts connexes (domaines), je peux en extraire un recouvrement fini d'ouvert connexes.
Cependant, est ce que je suis sur que pour tout compact connexe, je peux le recouvrir par des ouverts connexes?
Qu'en pensez vous?
Si X est compact et connexe, X est un ouvert connexe qui recouvre X. C'était pour la réponse sans intérêt
Je t'assure que je l'avais aussi cette réponse sans interet
C'était pour voir si je pouvais montrer ainsi que la dérivée extérieure d'une n-1 forme s'annulait forcément en un point, sur une variété compacte orientée à bord de dimension n, j'avais besoin de la connexité, comme sur mon précédent post... je devais considérer les composantes connexes...
grrr!!
Merci
Tu n'a pas besoin du fait que X soit connexe : Si tu as un recouvrement d'ouverts, tu peux en extraire un sous recouvrement fini.Envoyé par Quinto
Donc, si tu as un recouvrement d'ouvert connexe, le sous recouvrement sera un recouvrement fini d'ouverts connexes.
Mais j'ai la vague impression de mal comprendre la question
Je suppose que tu veux une propriété supplémentaire à ces ouverts connexes ?
Tu peux toujours construire un recouvrement par des ouverts connexes en considérant une famille de boules ouvertes centrées sur chacun des points de l'ensemble, non ?
Salut,
si je comprends bien, il te faut au final un recouvrement fini d'ouverts connexes.
Maintenant, si tu disposes d'un recouvrement d'ouverts connexe, puisque X est compact, il en existe un sous-recouvrement fini, donc constitué de connexes.
Par contre, si tu as un recouvrement d'ouverts quelconque, il suffirait que dans le sous-recouvrement fini obtenu par compacité, chacun des ouverts ait un nombre fini de composantes connexes.
A la louche, ça m'a l'air vrai, mais c'est pas une démonstration.
Cordialement.
Un essai:
supposons donné un recouvrement d'ouverts de X: par compacité, on a un sous-recouvrement fini.
Supposons que
Ca tient la route?
On n'est pas dans un espace métrique, et même dans un espace métrique les boules n'ont aucune raison d'être connexes...
Ben y a pas de raison que le procédé termine en fait.
Mais je crois que je n'ai toujours pas compris ce qu'il fallait démontrer...
Si on considère l'ensemble
Il me semble que la question est: peut-on obtenir un recouvrement fini d'ouverts connexes quand on a un recouvrement d'ouverts sur X compact et connexe?
Mouais, il peut y avoir une infinité de valeurs d'adhérence
Il n'y a pas un argument qui permette de conclure? On est quand même dans un compact!
Ok, mais si X est connexe? :confused:Si on considère l'ensemble
Mais que doivent vérifier ces ouverts par rapport au recouvrement initial exactement ? Un recouvrement plus fin d'ouverts connexes par exemple ? Là je n'y crois pas...
Salut,
en fait j'ai un espace de Hausdorff M (en fait une variété) compacte
J'ai pris une composante connexe C, et je voulais savoir si je pouvais la recouvrir uniquement pas des ouverts connexes...
Rien de tellement plus compliqué...
Non, la propritété de Borel (-Heine-Lebesgue pour oublier personne) est la suivante:
De tout recouvrement d'un espace topologique compact E par des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini.
Il s'agit ici de voir si, quand E est en outre connexe, on peut obtenir un recouvrement fini avec des ouverts connexes.
Enfin, c'est comme ça que j'ai compris la question.
Mais voilà qu'entends-tu exactement par obtenir ? Visiblement pas par extraction du recouvrement initial (il se peut qu'aucun ouvert ne soit connexe) ?
Cela pourrait aussi être obtenir un recouvrement à partir de toutes les composantes connexes des ouverts du recouvrement initial, mais dans ce cas c'est évident vu que l'on par d'un recouvrement par des connexes.
La dernière possibilité est juste existe-t-il un recouvrement fini de X par des ouverts connexes, mais dans ce cas je suis assez sceptique sur l'intéret de la question étant donné que le recouvrement (X) convient trivialement.
Après ce qui peut être très utile, c'est : peut-on obenir un recouvrement par des ouverts simplements connexes, ou même contractiles, et dans le cas d'une variété, c'est possible.
Oui c'est celà.
Désolé pour mon manque de précision.
évident c'est vite dit, non ?
Dans un espace localement connexe, les composantes connexes d'un ouvert sont ouvertes, et donc la réunion des composantes connexes de tous les ouverts d'un recouvrement forme bien un recouvrement par ouverts connexes.
Mais un espace peut être connexe sans être localement connexe.
Salut quinto,
Je suis pas sûr de comprendre et je vais surement proposer un truc à côté du problème mais :
[0..2] est compact connexe recouvert par les deux ouverts :
]-1..1[ union ]1..2[
et ]0..3[
Mais on peut pas trouver de sous-recouvrement (y'en a pas de strict !) avec des ouverts connexes.
Hope ça helps un peu
[0;2] n'est pas un ouvert de IR avec la topologie usuelle mais c'est un ouvert de [0;2]
Certes, et ?
et il est connexe
c'est donc un recouvrement strict, non ?
Mais si on se plce dans un espace plus grand (IR) je ne sais pas si la notion de recouvrement strict est vraiment utile
Mais ce n'est pas un sous recouvrement : [0;2] n'appartenant pas au recouvrement initial d'ouverts.
par contre, je ne vois pas l'intérêt des sous recouvrements stricts
OK, j'avais pas noté le "sous", désolé.
Mais le but est de trouver un recouvrement, pas un sous-recouvrement à partir d'un recouvrement initial.
>> l'intérêt des sous recouvrements stricts
C'est juste un contre exemple simple où, comme il n'y a pas de sous-recouvrement strict, il n'y a pas de sous-recouvrement avec des ouverts tous connexes.
>> le but est de trouver un recouvrement
Ah bon ? c'est ça la question ???
ben, il me semble, mais c'est une bonne question.
Effectivement j'ai dit une grosse bêtise.
Bon alors maintenant je triche :
Quinto a dit qu'il considérait des variétés, et elles sont localement connexes
