Démonstration de Borel et Lebesgue

[invite42abb461]

Bonjour, je voudrais une démonstration de ce théoreme avec les outils du programme de MP. C'est a dire partir de la definition sequentielle d'un compact, et montrer qu'il y a equivalence avec la caractérisation par recouvrements. J'ai cherché sur wikipedia mais la demonstration prend cette meme caractérisation pour définition, qui est elle meme hors programme en MP. Auriez vous une adresse ou pouvez vous le rédiger rapidement ? (c'est pour pouvoir l'utiliser légitimement dans une copie)
Merci d'avance.
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[invite4793db90]

Salut,

tu es sûr que tu as besoin d'autant ? Quelle est la question précise ?

Désolé de pas t'aider mais en plus j'ai une question : la caractérisation séquentielle des compacts ne concernent que les espaces séparés n'est-ce pas ?

Cordialement.

PS : je réfléchis quand même à ta question.

[invite4ef352d8]

dans qu'elle sens en as tu bessoin ?



l'implication "Borel-Lebegue => Bolzano Weirstrass" n'est pas extremement complexe (si tu as deja fait la démonstration de Bolzano Weirstrasse en sup en utilisant des segments emboité, et bien c'est exactement sa)


en revanche le sens "Bolzano => Borel-lebegue" est vraiment delicat, et n'est vrai que dans les espaces metrique. je veux bien te donner la démonstration qu'on a faite en cours... mais je doute qu'il soit rentable de démontré Borel lebegue pour l'utiliser en suite ! (la démo est assez longue tous de meme) d'ailleur meme a l'epoque (assez recente) ou Borel etait au programe de spé, la démonstration été admise.

[invite4ef352d8]

il y aussi des cas plus simple a montrer : par exemple que les fermé borné en dimension finie verifie Borel lebegu. (assez simple, il suffit de montrer que dans R le segment [a,b] est compact (au sens de BL),qu'un fermé inclu dans un compact (au sens de BL) est compact et enfin qu'un produit de compact est compact)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42abb461]

il y aussi des cas plus simple a montrer : par exemple que les fermé borné en dimension finie verifie Borel lebegu. (assez simple, il suffit de montrer que dans R le segment [a,b] est compact (au sens de BL),qu'un fermé inclu dans un compact (au sens de BL) est compact et enfin qu'un produit de compact est compact)

C'est plutot de ce genre de cas que j'aurais besoin, car c'est essentielement ceux que l'on utilise. Pourrais tu m'en ecrire la demonstration car par exemple, dans Mines MP I 2005, il fallait s'en servir alors qu'il avait deja quitté le programe.

[invite4ef352d8]

tu peut trouver ici la demonstration que [a,b] est compact au sens de Borel Lebesgue.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...Borel-Lebesgue


il reste a montrer que un produit de compact est compact, et que un fermé d'un compact est compact.


un fermé d'un compact est compact : soit F un fermé inclu dans un compact E, et CF le complaimentaire de F dans E. CF est ouvert, donc a tous recouvrement de F par des ouvert on peut ajouter CF pour obtenir un recouvrement de E par des ouvert... (tu vois ce que je veux dire ? il reste bien sur a formaliser un tous petit peu sa, mais trois fois rien)

il reste a montrer que le produit de deux compact (au sens de Borel Lebegue) est compact... la je seche un peu, j'ai pas d'idee tous de suite... si je trouve je te dirait :S



a partir de la, si on a un fermé borné de R^n, alors il est inclu dans un produit de segment, donc est un fermé inclu dans un compact donc est compact (... toujour au sens de Borel evidement ) d'ou le resultat.


apres pour géneraliser a un R espace vectoielle quelconque, il suffit de prendre une base de cette espace et d'utilise l'isomorphisme canonique vers R^n (qui a un x associe la liste de ces coordoné dans la base)...

[invite4ef352d8]

as tu un lien vers le sujet en question ?

[invite42abb461]

as tu un lien vers le sujet en question ?

http://minesponts.scei-concours.org/...p_I_enonce.pdf question 23.

[invite9c9b9968]

Si ça t'intéresse, je m'étais amusé à le démontrer à l'époque, tu peux aller voir sur ma page internet

[invite4ef352d8]

c'est exactement la démonstration que nous avont vu en cours... comme tu peut le voir il n'est pas raisonable de la refaire dans un sujet de concour pour l'utiliser ensuite !