un ensemble bizarre

[invite1ff1de77]

bonjour
quel est la signification de Z/10Z
QUEL EST l'interet de cet ensemble
et comment s'en servir pour traiter les probleme d'arithmétique?
priere que vous m'aidiez a trouver des probleme d'arithmétique sur le net
a+
-----

[C.B.]

Z/10Z est le quotient de l'anneau Z par l'idéal 10Z (dit moi si tu as déjà vu ces notions).
En gros, les éléments de Z/10Z sont les pour .

Remarque :On appelle classe de l'entier a l'ensemble . Et inversement, on appelle représentant d'un tel ensemble un de ses éléments.

On peut à partir de Z définir l'adition et la multiplication dans Z/10Z
(en disant que la somme ou le produit de deux élément de Z/10Z est égale à respectivement la classe de la somme ou du produit de deux représentants qualconques (ça ne dépend pas du représentant) ).

Autrement dit :
dans Z/10Z (en notant 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 les classes des entiers 0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9, remarquons qu'il n'y a pas dans Z/10Z d'autres éléments que ces 10 là)

0+x=0 (pour tout x de Z/10Z)

1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
1+8=9
1+9=0

2+2=4
2+3=5
2+4=6
2+5=7
2+6=8
2+7=9
2+8=0
2+9=1

3+3=6
3+4=7
3+5=8
3+6=9
3+7=0
3+8=1
3+9=2

4+4=8
4+5=9
4+6=0
4+7=1
4+8=2
4+9=3

5+5=0
5+6=1
5+7=2
5+8=3
5+9=4

6+6=2
6+7=3
6+8=4
6+9=5

7+7=4
7+8=5
7+9=6

8+8=6
8+9=7

9+9=8

La multiplication elle donne
Pour tout x de Z/10Z :
0*x=0 et 1*x=x

2*2=4
2*3=6
2*4=8
2*5=0
2*6=2
2*7=4
2*8=6
2*9=8

3*3=9
3*4=2
3*5=5
3*6=8
3*7=1
3*8=4
3*9=7

4*4=6
4*5=0
4*6=4
4*7=8
4*8=2
4*9=6

5*5=5
5*6=0
5*7=5
5*8=0
5*9=5

6*6=6
6*7=2
6*8=8
6*9=4

7*7=9
7*8=6
7*9=3

8*8=4
8*9=2


Cet ensemble sert à pas mal de choses, entre autre à démontrer un certain nombre de propriétés arithmétiques.
Toutefois, en général, on n'utilise pas juste Z/10Z, mais Z/nZ avec n un entier quelconque.

Une propriété intéressante est que si deux nombres ont la même classe, alors leur différence est divisible par 10 (ça découle directement de la définition)

Une autre propriété intéressante est que la classe d'un produit (ou d'une somme) est égale au produit (ou à la somme) des classes

Mes cours d'arithmétique datant un peu, je ne pourrais pas te sortir un exemple simple tout de suite.

Par contre peut se servir de Z/nZ pour montrer quelques propriétés triviales liant un nombre à ses chiffres en base 10.
Par exemple en calculant la classe dans Z/3Z d'un nombre décomposé en base 10 :

alors en notant cl la classe d'un élément :

et comme on a autrement dit, la classe d'un nombre dans Z/3Z est égale à la somme de ses chiffre, et donc un nombre est divisible par 3 si et seulement si sa classe est zéro c'est à dire si et seulement la somme de ses chiffre en base 10 est divisible par 3.

[invite1ff1de77]

bonjour C.B.
JUSTEMENT J'ai pas compris
"Z/10Z est le quotient de l'anneau Z par l'idéal 10Z "
tu m'as dit aussi que
"0+x=0 (pour tout x de Z/10Z)"
il me semble qu'il y a une faute qque part
je crois que ca doit etre 0+x=x
peut etre que je n'ai pas saisi
mais bon
en tt cas merci then
.....

[C.B.]

tu m'as dit aussi que
"0+x=0 (pour tout x de Z/10Z)"
il me semble qu'il y a une faute qque part
je crois que ca doit etre 0+x=x

Tu as raison il y a une erreur : c'est 0+x=x

Sinon, je n'ai pas beaucoup d'exemple d'applications sous la main, mais tu devrais trouver ton bonheur dans n'importe quel livre d'arithmétique

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

bonjour C.B.
JUSTEMENT J'ai pas compris
"Z/10Z est le quotient de l'anneau Z par l'idéal 10Z "
tu m'as dit aussi que
"0+x=0 (pour tout x de Z/10Z)"
il me semble qu'il y a une faute qque part
je crois que ca doit etre 0+x=x
peut etre que je n'ai pas saisi
mais bon
en tt cas merci then
.....

la notion de quotient est reliée à la notion de classe d'équivalence ; définition : une relation d'équivalence ~ sur un ensemble E est une relation binaire vérifiant
_ x~x pour tout x dans E (réflexivité)
_ si x~y alors y~x (symétie)
_ si x~y et y~z alors x~z (transitivité)

L'exemple le plus simple de relation d'équivalence est l'égalité.

Maintenant, on appelle classe d'équivalence de l'élement x l'ensemble des y de E qui sont en relation avec x (tels que y~x) ; cela permet de regrouper les éléments de E par paquets, car si x et y sont en relation, leurs classes d'équivalence sont égales, et si x et y ne sont pas en relation, alors la transitivité assure que leurs classes d'équivalences respectives seront disjointes.

On définit alors l'ensemble quotient E/~ comme étant l'ensemble des classes d'équivalences sur E. C'est donc un ensemble dont les éléments sont aussi des ensembles. Généralement, on choisit un représentant de chaque classe, et on écrit x* = {classe de x} . C'est ainsi que l'on quotiente des ensembles

Maintenant, sur l'ensemble des entiers Z, il y a une relation d'équivalence capitale qui existe : la relation de congruence. Je te rappelle que x congru à y modulo n signifie que x-y est multiple de n, c'est à dire x = y + kn avec k entier.

Je te laisse vérifier que c'est bien une relation d'équivalence
Si on fixe un entier, disons n, on peut alors s'intéresser à la congruence modulo n ; on notera alors Z/~ par Z/(nZ).

Si tu veux que je te précise un peu plus, n'hésites pas

[invite8f53295a]

Un exemple du genre d'application arithmétique que peut donner de telless considérations. Si p est nombre premier, on sait que Z/pZ privé de 0 forme un groupe de cardinal p-1 pour l'addition. Or la théorie des groupes finis (en fait le théorème de Lagrange) nous dit que si G est un groupe fini, a^|G|=1 pour tout élément a de G. On trouve donc a^(p-1)=1 pour tout a dans Z/pZ privé de 0, ce qui se retraduit par a^(p-1) congru à 1 modulo p pour tout entier a premier à p, c'est exactement le petit théorème de Fermat ! On peut bien sûr généraliser en remplaçant p par un entier n quelconque et p-1 par l'indicateur d'Euler de n. Et ce résultat est en fait la base du système de cryptage RSA !

Ceci permet donc de mettre une structure algébrique sur les classes modulo un entier, et c'est très très utile pour diverses questions comme par exemple étudier les carrés modulo un entier etc.

[matthias]

Si p est nombre premier, on sait que Z/pZ privé de 0 forme un groupe de cardinal p-1 pour l'addition

BS veut dire pour la multiplication bien sûr. Pour l'addittion Z/nZ est toujours un groupe.

[invite8f53295a]

BS veut dire pour la multiplication bien sûr. Pour l'addittion Z/nZ est toujours un groupe.

Oui oui, merci