Integrales de Fresnel et prolème de convergence

[invite9617f995]

Bonjour à tous,
Dernièrement, j'ai essayé de re-démontrer la valeur des intégrales de Fresnel (voir def plus bas). Mais en m'inspirant de la méthode de résolution de l'intégrale de Gauss, j'ai abouti à un résultat étrange et j'aimerais comprendre où est mon erreur. Voici mes calculs :

Soit F l'intégrale de Fresnel :



Pour simplifier les calculs, on s'intéressera par la suite à l'intégrale suivante :

On a par parité de x² : F=2I

On pose :


On a d'une part :


Et d'autre part :


D'où d'après la formule trigonométrique de sin(a+b) :


On effectue un changement de variables polaire avec :


Le déterminant jacobien de ce changement de variables et r, donc on a :


En posant u=r², on obtient :


Ce qui donne :


Soit encore :



(Voir l'article de Wikipédia pour la démonstration)

On trouve donc :


Or cosinus ne converge pas en l'infini, y a donc un problème.

Voilà, merci d'avance pour vos questions.
Silk
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[invite57a1e779]

D'où d'après la formule trigonométrique de sin(a+b) :


On effectue un changement de variables polaire avec :


Le déterminant jacobien de ce changement de variables et r, donc on a :

Le changement de variables n'est pas licite dans une intégrale double semi-convergente
– est la limite d'une d'intégrale double calculée sur un rectangle ;
– est la limite d'une d'intégrale double calculée sur un quart de disque.

Il n'y a aucune raison pour que ces deux limites soient égales. D'ailleurs, pour la seconde, la fin du calcul prouve que la limite n'existe pas, et que l'intégrale considérée est divergente.

[invite9617f995]

Ah ok, merci à toi. Est-ce que ça signifie que la "démonstration classique" de l'intégrale de Gauss disponible sur Wikipédia est fausse ?

[invite57a1e779]

Le calcul classique de l'intégrale de Gauss par considération d'une intégrale double fonctionne parce qu'on intègre une fonction positive, donc l'intégrale est absolument convergente, et la limite est en fait la borne supérieure des intégrales sur les sous-ensembles compacts du plan ; cette borne supérieure peut être évaluée aussi bien en intégrant sur des carrés que sur des disques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Bien, merci pour ta réponse. Je crois que ça me dépasse un peu tout ça mais c'est pas grave ...