2+2=4

[invite7753e15a]

Bonjours, je cherche la démonstration de ce postulat. Es-ce que quelqu'un sait où je peux trouver la démonstartion de 2+2=4 ? Je l'avais mais je l'ai perdu

Merci d'avance.
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[invitec317278e]

Voilà une question bien vague, sans savoir comment a été construit , définie l'addition, etc...

NB : si c'est un postulat, on ne le démontrera pas

[invite7753e15a]

Bin N est définie par les entiers naturels. Y a aucun moyen de démontrer cette simple addition ? Qu'entends tu par définir l'addition ?

[Elie520]

J'ai entendu quelque part que cette égalité était démontrée, mais je ne suis pas sûr.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7753e15a]

Oui oui elle l'est un ami me l'avait même fait passé, mais je l'a trouve plus .

[Elie520]

Elle est longue non ?

[invite7753e15a]

Un peu ouais elle prennait plusieurs pages

[Seirios]

Bonjour,

Si tu pars de l'arithmétique de Peano (ici, 4 est défini par s(s(s(s(0)))) (où s est l'application successeur). Tu as donc 2+2=s(s(0))+s(s(0))=s(s(0)+s(s (0)))=s(s(0+s(s(0))))=s(s(s(s( 0))))=4.

[invite57a1e779]

Quelle est la définition de 2 ?
Quelle est la définition de 4 ?

[ansset]

je ne suis pas sur mais
1+1=2 ou alors je ne connais plus les bases de l'addition
ensuite l'addition est sensée être commutative et associative.

[invite7753e15a]

Oula je connais pas tout ça moi ^^

[Elie520]

J'avoue, quelle est la définition de 4.... 2+2 ? ben nan ! 1+1+1+1 ? dans ce cas, c'est vite fait aux vues des propriétés de l'addition..... C'est une bonne question.

[Seirios]

Oula je connais pas tout ça moi ^^

Pour ce genre de question, il faut savoir de quoi l'on part et définir ce que l'on utilise, soit en l'occurrence l'addition, 4 et 2.

[invitec317278e]

Je me demande surtout comment tu pouvais comprendre une démo de 4 pages à ce sujet sans comprendre le message de 20h03 de Phys2.

Tu n'as aucun souvenir de la manière dont ils procédaient ?

[invite7753e15a]

Ah non j'ai dit que je l'avais mais j'ai jamais dit que je l'a comprenais. En fait j'y comprenais rien du tout même ^^ . Mais j'étais en seconde à ce moment à là et je voulais la revoir maitenant que je maitrise les intégrales, les exponentielles... Et non je n'ai pas vraiment de souvenir là dessus, juste que ça démontrait que 2+2=4 .

[Médiat]

Je crois qu'il ne faut pas être trop ambitieux, et il vaudrait mieux commencer par la démonstration que 1 + 1 = 2.

Voici la démonstration de Russell et Whitehead dans les Principia Mathematica :
http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text...f;seq=00000400

Bien sur il n'y a la que les 20 dernières pages de la démonstration, mais il vaut mieux lires les 350 pages précédentes pour bien comprendre .

[invite7753e15a]

Mais c'est des maths ça ? Wha je comprends aucun symbole (enfin presque) ^^

[invitec317278e]

Il y a hélas tout un tas de symboles étranges qui me rendent impossible toute compréhension

[invite7753e15a]

Moi je crois reconnaitre des congruences un peu partout mais sinon... Les types qui ont fait ça devait être vraiment bons...

[Turgon]

Bon, je vais essayer dans deux cadres différents (ordinaux et arithmétique de Peano):

Ordinaux:

2 correspond à l'ensemble : { {{}}, {} } (c'est l'ensemble dont les deux éléments sont {}: ensemble vide appelé zéro; et {{}}={0} sachant que 1:={0}. C'est donc l'ensemble {0,1}).

On effectue l'union disjointe de 2 et de 2, on définit A=({a}x2)U({b}x2) où {a} et {b} sont deux ensembles différents.

On munis A de l'ordre lexicographique (je ne sais jamais si j'écris le mot comme il faut) qui consiste à partir d'un ordre sur {a,b} comme a<b (par exemple) à définir dans 2+2 l'ordre (sachant que ses éléments sont des couples): (e,f)<(g,h) ssi ((e<f) ou (e=f et f appartient à g)).

Il reste ensuite à démontrer que la structure crée est isomorphe à un ordinal, ce qui est le cas d'après les axiomes de la théorie puisque l'ordre crée est un bon ordre sur A (peut être ais-je fais des confusions entre strict et non strict mais c'est essentiellement le même résultat).

Le plus petit ordinal sur lequel cet isomorphisme est effectif est défini comme 2+2. Ici, c'est l'ordinal: {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} qui vaut 4 dans la théorie des ordinaux (Rappel: la fonction successeur y est définie par S(n)=nU{n} et 0 par {}.

On a donc 2+2=4.

Peano:

Munis des axiomes de cette théorie, on a:

2+2= S(S(0))+S(S(0))
=S(S(S(0))+S(0))
=S(S(S(S(0))+0))
=S(S(S(S(0))))
=4

Attention, derrière la simplicité se cache une axiomatique précise! Je ne détaillerais pas ici.

En espérant ne pas avoir dis trop de bêtise ^^.

[invite57e5945e]

Si ma mémoire ne me trompe pas, il y a dans la Science et l'hypithèse de Poincarré un passage sur ce point. C'est assez facile d'accès. Comme ce livre à été réédité dans une collection récente on le trouve facilement dans les bibliothèques.