a^b=b^a

[invitedb2255b0]

Bonjour, je cherche tous les couple tels que a différent de b et

A vu de nez, et un argument purement analytique d'une certaine fonction log pourrais me dire que seul le couple (2,4) (on suppose a<b de toute façon si (a,b) marche, (b,a) aussi) convient, mais je veux en donner une preuve purement arithmétique.


Déjà a et b ne doivent pas etre premier entre eux, en effet, si a^b=b^a alors ils ont les même diviseurs premiers, or les seuls diviseurs premiers de a^b sont ceux de a et les seuls diviseurs premiers de b^a sont ceux de b.
Donc finalement a et b ont les même diviseurs premiers, donc ils ne sont pas premiers entre eux.
Alors on peux factorisé par d, leurs pgcd.

Donc on a donc (a<b)

Mais alors, cela veux dire que divise donc que a' divise . Donc soit a' divise b', soit a' est une puissance de b', quoiqu'il en soit a' et b' ne risquent pas d'être premier entre eux.

Et là je tombe sur une belle absurdité, puisque justement a' et b' SONT premiers entre eux, c'est justement comme çà qu'on les a construit ...

Où est l'absurdité ?
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[Seirios]

Bonjour,

Il me semble qu'il faudrait conclure que nécessairement a'=1, sinon tu arrives effectivement à une absurdité.

[Seirios]

Donc on sait que a divise b ; soit k tel que b=ka. Alors si , alors , d'où . Les solutions sont donc . Après, il faudrait savoir quelles sont les solutions entières de l'équation .

[invitedb2255b0]

Bonjour,

Il me semble qu'il faudrait conclure que nécessairement a'=1, sinon tu arrives effectivement à une absurdité.

Ce sont souvent les conclusion les plus débile qui me pose problème ...
=D merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2bc7eda7]

Bonjour,

tu sais que si alors .

On peut donc poser la fonction et le problème est alors le suivant :

Peut-on trouver tel que

On étudie f et on montre facilement que f est strictement croissante sur et strictement décroissante sur donc déjà ca réduit l'intervalle d'étude... forcément et n'appartiennent pas au meme intervalle...

Finalement un raisonnement par CN/CS te permet de conclure aisément...

Bonne après midi,

Mystérieux1

[invitedb2255b0]

Je sais mysterieux, j'avais aussi trouver cette solution, mais je voulais en donner une preuve purement arithmétique. (sans utilisé la fonction log)

[invite93e0873f]

Pourquoi d ne diviserait-il pas b' ? Après tout, dans le cas a=2, b=4, d=a=2 qui divise bien b' = 2.

En fait, il me semble qu'en obtenant , puisque a' et b' sont relativement premiers, on conclut que a' vaut 1 en effet par unicité du développement en produit de premiers et par définition de d. Ainsi, .

Puisque a=d divise b, a divise b (disons b = ka). Des considérations sur le développement en produit de premiers de a et de b nous donnent la condition établie par Phys2, soit ou encore .

Je dis tout cela, car en fait il n'y a pas véritablement de raisonnement par l'absurde ici. Il faut juste ne pas conclure que a' divise possiblement b' et exclure la possibilité que d divise b'.

Le cas k=1 était dès le début trivial (a=b). , pour k = 2, vaut 2 (donc pour k=2, a=2). Or, cette suite est décroissante (pour k croissant) et strictement plus grande que 1. Étant donné qu'il n'existe pas d'entier entre 1 et 2, pour k>2, il n'y a pas de solution entière pour a. Ainsi, la seule solution non triviale est (a,b) = (2,4). Cet argument n'est peut-être pas assez arithmétique à ton goût par contre.

[invite8a80e525]

Bonjour,

pour résoudre avec et :

Par récurrence, pour tout , .
Donc si , ,donc k=2, donc a=2.

[invite93e0873f]

En effet! J'allais arriver avec un raisonnement moins élégant, mais tout de même une sorte d'induction. Néanmoins, je ne sais pas s'il tient vraiment la route.

Clairement, on cherche des solutions a différentes de 1 ; . Si , alors et donc . Donc et donc . En procédant par récurrence, on voit que k est plus grand que toute puissance de 2, bref que k n'existe pas dans les entiers.