E^i*PI=-1

**SPH** · 03/06/2010, 17h35

Salut,
J'ai lu une trentaine de livres de mathematiques et j'ai trouvé ca extra !
Ne sachant pas si je suis bete ou tres bete (car dire que l'on est intelligent est la pire betise a faire), j'aimerais savoir s'il est "facile" de comprendre le mecanisme qui fait que E puissance i*PI egale -1 ?

Vous comprenez la question ? Est-ce banal pour vous de repondre "bien sur que ca fait -1 !"

Merci

ps : plus j'ai lu, plus je me suis trouvé d'une banalité affligeante. Je me suis détesté tellement je suis petit.

**Elie520** · 03/06/2010, 18h14

Je ne pense pas que tu sois bête parce que au contraire, tu cherches à comprendre, ce qui ne s'appelle pas de la bêtise, mais de la curiosité, ce que je trouve être un bon défaut dans ce cas malgré le dicton

J'ai peut-être une démonstration.

Soit $\text{[math]}$ .

C'est bien sûr une fonction dérivable sure $\text{[math]}$ et on a :

$\text{[math]}$ .
D'où $\text{[math]}$ est sulotion de l'équation différentielle : $\text{[math]}$ .

Donc on a : $\text{[math]}$

On trouve facilement $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ .

D'où la notation exponentielle : $\text{[math]}$ .

D'où pour $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$

Tadaaaaam

invite7553e94d · 03/06/2010, 18h23

Encore faudrait-il démontrer que l'équation différentielle $\text{[math]}$ admet une fonction exponentielle en solution quand $\text{[math]}$ est complexe ... tu prends le problème à l'envers.

Étape 1 : convention.

$\text{[math]}$
Il s'agit donc d'une convention d'écriture. L'équation $\text{[math]}$ en découle directement.

Étape 2 : ho ! comme ça tombe bien !

On définie l'exponentielle sur tout $\text{[math]}$ comme suit :
$\text{[math]}$
Et là on peut remarquer que la définition de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est conforme à cette définition, mais aussi que la convention d'écriture ci-dessus est aussi valide

Enjoy !

**Elie520** · 03/06/2010, 18h35

Envoyé par prgasp77

Étape 1 : convention.

Il s'agit donc d'une convention d'écriture. L'équation en découle directement.

Je ne comprends pas, ce n'est pas qu'une convention... elle se démontre non ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite7553e94d · 03/06/2010, 18h37

D'où l'étape deux. Mais pour commencer on l'utilise souvent comme une convention, car la démonstration en question fait appel à l'étude des séries (et je ne sais pas exactement ce que souhaite SPH).

**Elie520** · 03/06/2010, 18h38

Alors dans ce cas je n'ai rien compris du tout à ta démonstration. Et même si la mienne est biaisée, y a-t-il moyen de l'améliorer pour combler la lacune ?

**SPH** · 03/06/2010, 19h14

Envoyé par prgasp77

[INDENT] $\text{[math]}$

Je précise que je n'ai jamais fait d'études scolaire de math au dela du bep. Donc, je ne suis pas du tout au parfum pour les symboles mais j'ai par moi meme creusé pleins de choses et mes maths sont souvent bizzares.
Quand je vois EULER qui est arrivé a un niveau extreme et sans ordinateurs, je me demande COMMENT ca se peux !! Et je me dis que si EULER, par passion, en est arrivé la, alors on dois aussi reussir a comprendre.
Moi, je ne sais pas ce que c'est que "e" (deja a la base, c'est mal barré). "i", je sais ce que c'est; tout comme le reste. Mais meler tous ses ingrediants, waouw !!

Bon, a votre avis, il faut combien d'années pour bien maitriser la citation de "prgasp77" que j'ai cité au debut de ce message ?

**Elie520** · 03/06/2010, 20h20

Peu de temps avec avec quelqu'un de compétent qui t'enseigne, mais la, c'est un peu complexe, parce que le fameux i, on ne peut pas te l'introduire juste comme ca, ou alors ce serait inutile, parce que tu n'en serait pas beaucoup plus éclairé...
Pour plus d'infos : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_imaginaire_pur

Pour le e, en fait c'est une constante, et tu as $\text{[math]}$ .
En fait, la fonction $\text{[math]}$ est l'unique fonction qui prend la valeur 1 en 0 et dont sa dérivée est égale à elle même : $\text{[math]}$ .
Et $\text{[math]}$ se lit "exponentielle de x".
Pour plus d'infos : http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle

Enfin quant à Euler... Ce n'est pas le seul à ne pas avoir connu l'ordinateur ! Gauss en fait partie aussi, et encore beaucoup d'autres grands mathématiciens, mais il avaient un points en commun : C'était ce que l'on appelle communément des génies ! Alors ce n'est pas parce qu'il sont allés très loin dans le raisonnement scientifique en tant que pionniers pour leur époque que tout le monde peut en faire autant avec des efforts, même si on peut aller très loin quand on est passionné et investi !
Mais au final, l'ordinateur n'aide pas à grand chose si tu remarques... S'il n'existait pas, ce ne serait pas nous qui essayerions de t'aider, mais d'autres personnes, en face de toi, et tu comprendrais même surement mieux pas mal de choses, mais bien que l'ordinateur soit un outil pratique pour découvrir beaucoup de chose, il n'est pas essentiel.

invite3ba0dddb · 03/06/2010, 20h26

salut,

Envoyé par SPH

Moi, je ne sais pas ce que c'est que "e" (deja a la base, c'est mal barré)

tu peux définir e comme étant:
$\text{[math]}$

**Elie520** · 03/06/2010, 20h48

Envoyé par prgasp77

Encore faudrait-il démontrer que l'équation différentielle $\text{[math]}$ admet une fonction exponentielle en solution quand $\text{[math]}$ est complexe ... tu prends le problème à l'envers.

Je ne vois pas où est le problème en fait, il suffit de dériver, puisque k, même s'il est complexe reste constant non ? Je ne m'y connais pas trop en exponentielles complexes et opérations d'intégration, dérivation sur les complexes.

invite7553e94d · 03/06/2010, 23h45

Envoyé par Elie520

Je ne vois pas où est le problème en fait, il suffit de dériver, puisque k, même s'il est complexe reste constant non ? Je ne m'y connais pas trop en exponentielles complexes et opérations d'intégration, dérivation sur les complexes.

Mais si tu dérives, tu utilises le fait que la fonctions exponentielle est sa propre dérivée même dans $\text{[math]}$ , ce qui n'est pas démontré.

Envoyé par SPH

Bon, a votre avis, il faut combien d'années pour bien maitriser la citation de "prgasp77" que j'ai cité au debut de ce message ?

Pas beaucoup, ce que j'ai écris tu va le comprendre une fois traduit en "français"

.
$\text{[math]}$ signifie : "Pour tout nombre théta ( $\text{[math]}$ ) réel, $\text{[math]}$ est égal à $\text{[math]}$ "

Les symboles :
$\text{[math]}$ = pour tout / quelque soit
$\text{[math]}$ = appartient (à accorder selon le mode)
$\text{[math]}$ = l'ensemble des réels ( $\text{[math]}$ est l'ensemble des complexes)
$\text{[math]}$ = la fonction cosinus
$\text{[math]}$ = la fonction sinus

Si tu as d'autres questions

**breukin** · 04/06/2010, 08h46

Attention, on ne définit pas l'exponentielle complexe comme :
$\text{[math]}$
Mais comme :
$\text{[math]}$
C'est parce qu'on démontre que
$\text{[math]}$
qu'on obtient l'écriture
$\text{[math]}$
en définissant
$\text{[math]}$

invite7553e94d · 04/06/2010, 13h39

Envoyé par breukin

Attention, on ne définit pas l'exponentielle complexe comme :
$\text{[math]}$
Mais comme :
$\text{[math]}$
C'est parce qu'on démontre que
$\text{[math]}$
qu'on obtient l'écriture
$\text{[math]}$
en définissant
$\text{[math]}$

Exact, j'ai été un peu vite, et me suis trompé sur les bornes ... je rouille.

invite986312212 · 04/06/2010, 15h32

Envoyé par SPH

J'ai lu une trentaine de livres de mathematiques et j'ai trouvé ca extra !

et

Moi, je ne sais pas ce que c'est que "e"

j'en déduis que tu as lu une trentaine de livres d'algèbre, de combinatoire (et encore), mais pas d'analyse, pas de probas, pas de théorie des nombres. Il te reste pas mal de domaines des maths à aborder... tu vas certainement trouver ça extra aussi

**SPH** · 04/06/2010, 17h11

Une trentaine de livres de maths qui PARFOIS font l'impasse de ce qu'est vraiment tel ou tel element. Pour "e", tous les livres que j'ai lu n'ont pas jeté la base alors je suis passé a coté.
Bon, je vous remercie pour toutes ces reponses. J'ai eu un grand regret recement car plus je lisais, plus je me disais que j'aimais les math mais que je m'y prenait trop tard. J'ai 39 ans et je me trouve vieux pour rattraper le retard qu'ont des gens comme gauss ou riemman. J'aime beaucoup les maths et je ne décroche pas facilement. Il y a meme des nuits ou je me suis relevé expres pour prendre un crayon et du papier en me disant "nan mais attend, en fait, il faut faire comme ca".

Je bosse actu sur la factorisation des grands nombres (200 chiffres) et je pense que celui qui saura donner une méthode rapide (genre un jour de calcul par ordinateur) causera des centaines de milliards de dollards de dégat et deviendra un demi dieu pour la communauté mathematique. Je bosse la dessus avec mes connaissances et j'ignore s'il faudra des connaissances plus poussés.
C'est la passion qui est mon moteur mais j'aimerais rajouter des cordes a mon arc...

invite986312212 · 04/06/2010, 17h50

Envoyé par SPH

J'ai 39 ans et je me trouve vieux pour rattraper le retard qu'ont des gens comme gauss ou riemman.

bah ne t'en fais pas trop: personne sur ce forum n'approche le niveau de Gauss ou Riemann, qui ont été les plus grands mathématiciens de leurs époques respectives.

Je bosse actu sur la factorisation des grands nombres (200 chiffres) et je pense que celui qui saura donner une méthode rapide (genre un jour de calcul par ordinateur) causera des centaines de milliards de dollards de dégat et deviendra un demi dieu pour la communauté mathematique.

bof, tu penses aux méthodes de cryptage de données mais il y a d'autres méthodes que celles reposant sur la factorisation de nombres premiers. Par ailleurs si ton but dans l'existence est de causer des milliards de dollars de dégâts, fais-toi soigner.

Je bosse la dessus avec mes connaissances et j'ignore s'il faudra des connaissances plus poussés.

y'a des chances...

**Elie520** · 04/06/2010, 19h49

Envoyé par SPH

J'ai 39 ans et je me trouve vieux pour rattraper le retard qu'ont des gens comme gauss ou riemman.

De toute façon, on ne fait jamais des maths dans l'espoir d'atteindre le génie de ces personnes-là, parce que s'il fallait être de leur trempe pour faire des maths, ce serait vite une science oubliée

Mais mis à part ca, il n'est jamais trop tard pour exploiter ses capacités ! C'est comme les gens qui à 25, 40, 55 ans se mettraient bien à faire du piano et qui se disent non parce qu'elles sont trop vieilles... moi je dis que c'est dommage

**SPH** · 05/06/2010, 09h26

Il y a une chose qui me manque cruellement, ce sont des exemples concrets. Quand j'ai lu tous ces bouquins, ca restait abstrait. Mais si j'aborde un probleme concret qui m'interesse, en en discutant, ce sera la que je progresserais. Je me ferais une image mentale du mecanisme. J'aimerais avoir dans ma ville des groupes de discutions mathematiques. Ce serait genial.

Tiens, parmi mes reflexions que j'ai ecrite, je vous recopie ce que j'ai ecris le 7 octobre 2009 :

Dans ma chambre, un dessin au mur m'inspire une reflexion : si 2 droites sont parallelles quand on les regarde du dessus, elle ne le sont plus quand on change d'angle de vue.
Les droites parallelles ne restent pas parallelles. Mais les 2 autres questions sont :
1> sont elles encore "droites" ?
2> se rejoignent elles ?
La question la plus dure est la premiere car la reponse a la deuxieme est qu'elle ne se rejoignent pas. En apparence, on a l'impression qu'elles se touchent mais ce n'est qu'une illusion. Si elles se touchaient, et vu que ce sont des droites, elles finiraient par se croiser et devier l'une de l'autre.*Ce sentiment qu'elles ne peuvent pas se toucher m'inspire donc une reponse pour la question 1 : ces droites, vu de coté, ne sont plus droites...

**Elie520** · 05/06/2010, 17h50

Je n'ai pas trop compris ce que tu voulais dire, mais en tout cas, dans l'espace, pour que deux droites soit parallèles, il faut non seulement qu'elles ne se touchent pas, mais aussi qu'elle soient coplanaires.

**SPH** · 05/06/2010, 17h58

Je regardais un tableau représentant une allée bordé de 2 murets. La vision a la premiere personne rendait ces 2 murets non parallelles alors que j'imaginais la vision du dessus confirmant qu'elles sont bien parallelles. De plus, la vision a la premiere personne rendait 2 murets non droits car s'ils etaient droit ET non parallelles, ils se couperaient. Donc, la seule vrai vue possible est qu'elles paraissent courbes pour ne jamais se couper tout au loin.
Et la, je me disais que les choses s'expriment de la ou l'on est : Quelque part, ils sont droits et parallelles tout en etant courbe et non parallelles autre part

**Elie520** · 05/06/2010, 19h02

Ce dont tu parles est dû à la perspective et à un point de fuite. Mais en perspective cavalière, deux droites parallèles en 3 dimensions peuvent devenir sécantes en 2D. je crois...

inviteea028771 · 06/06/2010, 03h39

Même en 2 dimension

C'est la géometrie projective:
http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9...rie_projective

**SPH** · 06/06/2010, 16h16

Autre chose que je me suis dis (rien a voir avec e^iPI mais je fini ici au lieu de creer un new post) :
Un cercle dessiné sur un plan 2D a 1 centre. Mais il en a une infinité dans une autre dimention (la perpendiculaire 3D du plan).

Et je pose une question : y a t'il dans une 4eme dimension un (ou +) centre autre que le centre naturel d'une sphere ???

invité576543 · 06/06/2010, 17h08

Envoyé par SPH

Autre chose que je me suis dis (rien a voir avec e^iPI mais je fini ici au lieu de creer un new post) :
Un cercle dessiné sur un plan 2D a 1 centre. Mais il en a une infinité dans une autre dimention (la perpendiculaire 3D du plan).

Question de définition du mot "centre"... Si on prend comme définition le barycentre avec poids uniformes, il n'y en a qu'un. Si on dit "à égale distance de tous les points" il y en a une infinité... Pourquoi choisir l'une plutôt que l'autre ?

invite986312212 · 07/06/2010, 14h26

Envoyé par Michel (mmy)

Pourquoi choisir l'une plutôt que l'autre ?

je choisirais la seconde, peut-être parce que la notion d' "égale distance" n'est en réalité pas une notion métrique, elle suppose seulement la notion de déplacement (figures superposables), alors que la notion de barycentre est métrique, donc moins fondamentale.
D'ailleurs on peut définir un cercle comme l'ensemble des points du plan équidistants d'un point donné, mais je vois mal une définition en termes de barycentre.

invite5e57c656 · 07/06/2010, 14h50

Je trouve cette forumule d'euler la plus belle formule en mathématique associant 2 nombre irrationnels completement "fous"

pi et e et un nombre imaginaire pur qui est i et quand on les mijote ensemble ça donne un nombre relatif et simple: -1 AH COMME C'EST BEAU!!!!! S:

invite986312212 · 07/06/2010, 15h16

à ce qu'on dit, Euler aimait bien l'écrire 0 = 1 + e^{i pi} comme ça il avait dans la même formule les cinq nombres les plus importants 0, 1, i, pi , e et les trois lois +, x et ^

**Elie520** · 07/06/2010, 15h26

$\text{[math]}$

Cette relation provoqua l'admiration d'Euler qui y voyait "la main de Dieu" et a frappé l'imagination des mathématiciens du XIX^è siècle du fait qu'elle contient : "les symboles les plus importants, union mystérieuse dans laquelle l'Arithmétique est représentée par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , l'Algèbre par $\text{[math]}$ , la géométrie par $\text{[math]}$ et l'analyse par $\text{[math]}$ " (Tobias Dantzig)

invitec3143530 · 15/06/2010, 00h31

La démonstration est immédiate en remplaçant "x" par "ix" dans la série de l'exponentielle. On obtient deux séries ( (ix)^n est égale à -x^n une fois sur deux, lorsque n est pair), qui sont celles de cos et de isin. Après on remplace x par pi.

**breukin** · 15/06/2010, 07h57

Non, ce n'est pas une démonstration, mais une définition.
Une fois après avoir défini l'exponentielle complexe par la série :
$\text{[math]}$
on définit les fonctions trigonométriques par :
$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$
Il n'y a donc pas lieu de reconnaître les séries représentant les fontions trigonométriques pour démontrer que :
$\text{[math]}$
Au contraire, ces séries résultent des définitions.
Ensuite, à partir de ces simples définitions, on arrive à démontrer que la fonction exponentielle est périodique, de période imaginaire pure, et donc aussi les fonctions trigonométriques, de périodes réelles.
On définit alors le nombre $\text{[math]}$ comme le double du plus petit zéro positif de la fonction $\text{[math]}$ , qui existe nécessairement.

E^i*PI=-1

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