Bonjour,
Je suis élève de sup et dans le cadre d'un devoir je me suis intéressé à l'ergodicité des convexes, j'ai compris "manuellement" ce que c'etait mais je n'arrive pas à trouver comment on arrive à determiner si un objet est ergodique ou non, et les hypotheses exactes d'ergodicité.
Merci d'avance si quelqu'un peu m'expliquer tout ça.
Hmm... Qu'est-ce que tu appelles "ergodicité" ? La façon dont tu utilises ce terme est peu claire et ne correspond pas du tout à la notion d'ergodicité qui est utilisée. Et la seule référence à "ergodicité des convexes" sur Internet est ce fil, alors je peux difficilement en savoir plus.
On a vu l'hypothèse d'ergodicité dans le cadre de la physique comme approximation dans l'étude de la cinétique des gaz parfaits; cela revenait alors à considérer que les directions des vitesses étaient equiprobables. Ici j'utilise le mot ergodique pour un convexe lorsque moyenne spatiale et moyenne temporelle sont égales presque partout, en référence au théoreme de Birkhoff(que je n'écrit plus birchkoff ^^). En effet le devoir dont je parle est un sujet qui montre qui démontre le théoreme de birkhoff et l'utilise pour trouver des propriétés sur la période des trajectoires dans des billards convexes quelcoques. En fait la question est de savoir si ce que j'utilise est vrai, et quels sont les autres moyens de prouver que la fonction associée a la courbe est ergodique?
Ah, c'est déjà beaucoup plus clair. Pour commencer, un point de vocabulaire : on ne parle pas d'"ergodicité des convexes", personne ne comprendra ce que tu veux dire par là, mais éventuellement d'"ergodicité des billards convexes", ce qui n'est pas tout à fait rigoureux mais largement suffisant pour se faire comprendre.
Sinon, il faut distinguer deux choses :
* L'ergodicité d'un système, qui est une propriété de ce système (où plus exactement d'un ensemble mesurable, d'une transformation, et d'une mesure). Elle est satisfaite pour certains billards convexes, avec une transformation et une mesure "naturelles" (i.e. celles que tu dois être en train d'étudier).
* Le théorème de Birkhoff, qui en tire des conséquences sur les moyennes spatiales et temporelles des observables (par exemple la vitesse, le temps passé dans une certaine région du billard, etc.).
Autrement dit, une fois que la propriété d'ergodicité est démontrée pour un système particulier, l'hypothèse ergodique - au sens où tu l'entends - en découle, pour toutes sortes d'observables. Reste à démontrer l'ergodicité, ce qui est en général hautement non trivial, sauf pour des systèmes particulièrement simples.
Quelques références :
* Théorie ergodique [article Wikipédia]
* Billard de Sinai [article Wikipédia]
* Un excellent bouquin sur le sujet, à aller consulter en BU (mais je doute qu'il soit vraiment abordable en Sup).
Au passage, les billards convexes ont des propriétés beaucoup plus fortes que l'ergodicité, telle que le mélange fort [en] (en fait, de vitesse exponentielle), qui dit en substance que si on prend deux instants suffisamment éloignés, l'état du système au second instant est à peu près indépendant de l'état du système au premier instant. Autrement dit, le système est chaotique, et son comportement exact est imprévisible sur le long terme si l'on a la moindre incertitude sur son état initial (là où certains systèmes sont ergodiques tout en étant hautement prévisibles - rotation d'angle irrationnel sur le cercle).
Merci de ta réponse rapide, j'ai quelques questions encore si cela ne te dérange pas.
D'abord j'ai l'impression que l'ergodicité d'un système ne depend pas que du systeme mais aussi du premier rebond (en reprenant l'idée d'un billard), est ce vrai?
Ensuite peut on montrer le melange fort pour le billard elliptique de façon abordable? J'ai regardé du côté des angles et des points d'impacts, c'est du calcul assez lourd et ça ne me donne pas grand choses.
Enfin aurais tu des cas simples de démonstration de la propriété d'ergodicité?
PS: Tu m'avais deja conseiller ce livre dans un post assez vieux
à mon humble avis, avant de t'attaquer au billard, tu devrais essayer de comprendre ce qu'est une transformation ergodique dans un espace probabilisé plus simple, comme par exemple celui des suites de pile ou face (en fait c'est le premier exemple qu'on trouve dans tous les cours). Je pourrais te conseiller le petit livre de Billingsley (Ergodic Theory and Information) mais je devine qu'il est maintenant introuvable.Envoyé par lebaskinconnu
