Bonjour, j'ai une petite question sur la démonstration suivante :
Le sens indirect est facile.si et seulement si
Le sens direct je bloque ici :
avec :
Comme
J'ai pas du tout compris pourquoi
Ensuite on définit
Ici, je n'ai pas compris d'où cela vient-il.
Et enfin, il faut démontrer que
Toute aide est la bienvenue !
Bonsoir, l'écart entre deux entiers postifs strictement plus petit que n peut -il être superieur à n?Envoyé par Leonhardo
J'ai pas du tout compris pourquoi
r1 est plus petit que n
r2 aussi
et les deux sont positifs
donc |r1-r2| est plus petit que n
en effet, cela correspond a la distance entre r1 et r2 et les deux sont compris entre 0 et n (fais un dessin) (la plus grande distance qu'on peut avoir c'est n-1)
pour le reste, c'est l'associativité de la congruence (x=y[n] et z=y[n] donc x=y[n] et autres)
pour la derniere, quelle est ta définition de Z/nZ?
Ok, merci pour le premier point !
J'ai pas saisi ce que vous avez mis entre parenthèses.pour le reste, c'est l'associativité de la congruence (x=y[n] et z=y[n] donc x=y[n] et autres)
Pour la définition, on a montré que la relation de congruence (
Si j'ai bien compris
Sinon, j'ai une autre interrogation sur la chose suivante :
si
associatif....je dis n'importe quoi...
c'est la Transitivité de la congruence
http://fr.wikipedia.org/wiki/Congruence_sur_les_entiers
pour l'autre question, reflechissons:
Si
a=qn+b
c=q'm+d
alors
ac=(qn+b)(q'm+d)=qq'mn+bq'm+dq n+bd
puis je en déduire que ac congru à bd modulo mn?
contre exemple?
pour Z/nZ, tu as montré que plein de classe d'équivalence sont en fait égales (par exemple celle de 0 et de n, celle de 1 et de n+1...)
reste a montrer qu'avec celle de 0 à celle de n-1, tu les as tous ce qui n'est pas difficile avec la question précédente
Pourquoi est-ce la transitivité qui permet d'assurer l'équivalence x\eq y [n] \Leftrightarrow \bar{x}=\bar{y} ?
Sinon, j'ai pas compris ce que vous voulez dire par :
pour Z/nZ, tu as montré que plein de classe d'équivalence sont en fait égales (par exemple celle de 0 et de n, celle de 1 et de n+1...)
reste a montrer qu'avec celle de 0 à celle de n-1, tu les as tous ce qui n'est pas difficile avec la question précédente
je vais reformuler (et mieux expliquer):
tu cherches à montrer que:
dans le sens direct:
si x congru à y (toujours modulo n)
soit z un élément de
comme y est congru à x qui est congru à z, y est congru à z (transitivité et reflexion de la congruence).
au final z appatient à
en échangeant x et y, on a finalement l'égalité.
sans le sens indirect c'est encore plus simple puisque si
suite à cela, tu viens de montrer que
donc dans ta définition de Z/nZ, tu as beaucoup de redondance...en ne gardant que les n premières classes (de 0 à n-1), on les as tous en appliquant la question précédente (facile à montrer non?).
Est ce plus clair? n'hésites pas
La première démonstration est nickel, j'ai tout bien saisi
En revanche, pour la suite, ça passe moins. Pour montrer que
Soit
Ce que je n'arrive pas à faire, c'est l'étape intermédiaire : réaliser l'égalité
Réciproquement, Soit
bien sur. proprement, on le fait par double inclusion (mais le raisonnement est là et comme vous le dites,seul un sens est difficile puisque c'est le sens où on enleve de la redondance).
pour le sens "difficile", voici un indice: "division euclidienne" ^^
OK ! Donc
Viennent ensuite des questions de structure :
montrer que les lois
Pour le fait que ce soit un anneau, j'imagine qu'il faut prouver que :
- la loi + ainsi définie est commutative, associative, admet un élément neutre (qui sera
- la loi . est associative et distributive sur la loi + ;
J'espère ne pas en oublier ! Mais que veux dire que les lois sont bien définies ?
la loi est bien définie au sens ou je peux faire le calcul avec n'importe quel représentant, j'ai le même résultat à la fin.
pour le montrer tu prends deux représentants pour x (x1 et x2, et tu sais que x2=x1+kn=x+k'n, tu peux même prendre x2=x aussi...), idem pour y et tu regardes si tu as le même résultat au bout (c'est a dire la classe de x+y)
c'est pas bien difficile au final.
pour un anneau:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_(mathématiques)
donc oui.
Hum, je suis désolé, mais j'ai pas compris
chaque classe à plusieurs représentants (par exemple 0,n,2n,....)
je défini
mais le résultat dépend t'il des représentants que je prend?
exemple:
la réponse est non.
pour le montrer, prend deux représentants (cad ces deux représentants sont congrus a x modulo n et aussi entre eux) pour
idem pour fois.
C'est plus difficile ! Soit
yep
tu sais par la question precedente que x et x' sont congru modulo n (idem y et y')
reste a montrer que
c'est a dire a montrer que x+y est congru à x'+y' modulo n (idem pour fois...)
vraiment si dur?
Toujours pas ! Je crois que c'est la notation qui est malheureuse. Soient
oui
pareil pour y (avec w et z)
alors est ce que u+w et congru a z+y?
Donc soient
Donc :
on a
on a
Au final,
Je ne sais pas si j'ai bien compris
Oui on va simplifier ça pour le rendre plus présentable, concis et compréhensible:
soit
on a
on a donc
Ainsi
Le choix du représentant n'influence pas le résultat: l'addition dans Z/nZ est donc bien définie.
Voila.
à toi la multiplication
ça peut paraitre évident mais ça ne l'est pas.
imaginons un exercice:
Je défini de Z/nZ x Z/2nZ la loi : qui a (x,y) associe x+y dans Z/2nZ
est ce bien définie?
et si j'associe dans Z/nZ ?
Pour la multiplication, soit
C'est donc encore indépendant du choix du représentant !
yep
et pour l'exercice que j'ai rajouté? (rapidement...juste pour voir si t'as vraiment bien compris)
Autrement dit la loi est définie par
Ce n'est pas bien définie car :
si
si
la loi dépend donc du choix des représentants !
j'ai peut eutre mal formulé
je prend
et je defini la loi * qui associe
celle ci est bien defini, le choix du representant de x et de y n'intervient pas (car 2n est divisible par n, donc si je prend comme représentant y+2kn et x+k'n je trouve le même résultat).
par contre si je l'associe dans Z/2nZ celà ne marche plus
par exemple pour n=2 et
on aurai d'un coté
mais aussi, puisque
le choix du representant ne donne pas le même résultat. ma loi n'est pas bien définie
(faudrait mettre des barre pour Z/nZ et un autre symbole pour Z/2nZ pour plus de clarté aussi...mais bon)
bref....
tu arrives la suite?
Ok, j'ai bien compris !
