Analyse non standard

[invite58a61433]

Bonjour,

Voilà, je cherche à m'initier à l'analyse non standard cependant je ne sais pas trop par où commencer , j'ai cherché pas mal de documents sur le net mais je suis tomber sur des documents utilisant des notions qui sortent de beaucoup de ma compréhension des mathématiques (en particulier des notions de théorie du langage). En fait je cherche un livre ou un document d'introduction à l'analyse non standard qui soit accessible à un niveau de l'ordre L2-L3 de maths (en espérant qu'un tel objet existe). Si cela n'existe pas est-ce que quelqu'un pourrait me donner une idée des notions à maitriser avant de s'attaquer à l'analyse non standard ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Médiat]

Bonjour,

Il y a (au moins) deux façons très différentes d'attaquer l'ANS :

1) Méthode Robinson (le fondateur), qui fait une construction à partir de IR, pour bien la comprendre, il faut une bonne pratique de la théorie des modèles (en particulier les ultra-filtres). Un document très cohérent : http://www.emis.de/journals/BBMS/Bul...p961/petry.pdf

2) Méthode Nelson, qui est purement axiomatique, beaucoup plus facile d'accès, car elle demande moins de pré-requis, il est néanmoins nécessaire d'avoir une certaine connaissance de la théorie des ensembles. Un document que j'aime bien sur cette façon de faire : http://www.emis.de/journals/BBMS/Bul.../gautheron.pdf ; Gautheron a déposé plusieurs document sur le net il me semble.

[invite58a61433]

Merci pour les références .
En feuilletant les deux documents (j'étais d'ailleurs tombé sur le premier dans mes recherches) je pense que l'approche purement axiomatique me sera plus accessible (au moins dans un premier temps). Cependant il faut que je fasse de la théorie des ensembles avant, je vais voir ce que je trouve sur le sujet (et je reviens si jamais je ne trouve pas ce qu'il me faut ).

[Médiat]

Cependant il faut que je fasse de la théorie des ensembles avant, je vais voir ce que je trouve sur le sujet (et je reviens si jamais je ne trouve pas ce qu'il me faut ).

Sur FSG, dans la bibliothèque, il y a des liens vers les documents de Dehornoy (c'est parfait mais représente 150 à 160 pages au total).

Il existe une version abrégée (20 pages) : http://images.math.cnrs.fr/IMG/pdf/Dhm.pdf

Sinon en librairie, il y a le Krivine (mon maître ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Bonjour,

à la fin de l'article "Une querelle des Anciens et des Modernes", accessible par le lien :
http://www.scribd.com/people/documen...575-jjacquelin
une bibliographie très sommaire indique des références [6-11] choisies en rapport avec cet article de vulgarisation.
Bien évidemment et entre autres, les documents cités par Médiat sont préférables pour qui veut approfondir.

[invite58a61433]

Merci à vous deux pour les références
Effectivement les documents de Dehornoy m'ont l'air super clair.
Pour l'ans il y a le "Leçons de calcul infinitésimal" de Deledicq et Diener qui a l'air pas mal, je vais voir si je le trouve en bibli.

[Seirios]

2) Méthode Nelson, qui est purement axiomatique, beaucoup plus facile d'accès, car elle demande moins de pré-requis, il est néanmoins nécessaire d'avoir une certaine connaissance de la théorie des ensembles. Un document que j'aime bien sur cette façon de faire : http://www.emis.de/journals/BBMS/Bul.../gautheron.pdf ; Gautheron a déposé plusieurs document sur le net il me semble.

Je suis en train de lire ce document, et je ne vois pas vraiment à quoi font référence les objets standards. Par exemple, dans la définition d'un ouvert, on se place dans un espace métrique standard et on considère un sous-ensemble standard. Dans quel sens sont-ils standards ?

[invite986312212]

je te fais une réponse informelle : en analyse non standard on construit des ensembles (de nombres, de fonctions) qui sont des "sur-ensembles" des ensembles usuels de l'Analyse. Les objets standards sont justement ceux qui appartiennent aux ensembles usuels. L'idée générale de l'ANS c'est de "faire un détour" par ces ensembles non-standards, mais in fine de tirer des conclusions valables dans les ensembles usuels. Par exemple, il n'est pas très intéressant de démontrer l'existence d'un objet vérifiant telles conditions, si cet objet n'est pas standard. quand on revient dans le monde standard (usuel) on a envie de retrouver l'objet en question.

[Seirios]

Ma confusion vient peut-être du fait que les notations ne sont pas changées en passant du monde standard au monde non standard. Si c'est bien cela, alors en détaillant, il faudrait dire qu'une partie A d'un espace métrique (E,d) standard est ouverte ssi *A, dans l'espace métrique (*E,*d) non standard, contient le halo de tous ses points standards.
C'est bien ça ?

[invite4ef352d8]

Dans ce cas jette un oeil à la construction de Robinson (qui devrait être plus simple vu que tu es déjà familier avec la notion d'ultrafiltre)

ce "*E" dont tu parle est précisement défini comme étant l'ensemble des germes de fonctions à valeur dans A sur un ultrafiltre F "suffisamment gros" fixé.

[am2004]

La référence suivante est excellente pour appréhender l'ANS :
T. Lindstrom, An invitation to nonstandard analysis. In: N. Cutland, Editor,
Nonstandard Analysis and its Applications, Cambridge University Press (1988), pp. 1–105.
Le livre est lui-même excellent. Evidemment la recherche a avancé depuis.

Ma confusion vient peut-être du fait que les notations ne sont pas changées en passant du monde standard au monde non standard. Si c'est bien cela, alors en détaillant, il faudrait dire qu'une partie A d'un espace métrique (E,d) standard est ouverte ssi *A, dans l'espace métrique (*E,*d) non standard, contient le halo de tous ses points standards.
C'est bien ça ?