variance d'une bruit blanc intégré

[invite829bf453]

Bonjour,

Voila, en continuant à explorer mes vagues souvenirs de stats, je me trouve dans l'impossibilité de résoudre ce problème:
j'ai un bruit blanc (k), de moyenne nulle et de variance .

Maintenant, je dois estimer l'impacte de ce bruit une fois intégré par intégration rectangle basique: et S(0) = 0

Mais j'avoue ne pas trop savoir comment m'y prendre, je sèche un peu, quelqu'un aurait-il une suggestion?
-----

[inviteae4072e1]

Prenons l'exemple d'un processus dit AR (autoregrssif) :



avec une suite de réels et $ un bruit blanc.

D'après la loi des espérances itérées :




En itérant alors la formule ci-dessus fois, on déduit pour tout la formule de récurrence suivante :



Ainsi sous la contrainte où désigne le rayon spectral de la matrice on obtient pour tout la relation asymptotique :



En particulier, pour la première composante du vecteur aléatoire cette équation asymptotique se traduit pour tout par l'égalité :



avec .

La fonction d'autocovariance du processus } vérifie quant à elle sous la contrainte et pour tout :



c'est-à-dire :




Ainsi en multipliant pour tout chaque terme de l'égalité précédente par le terme et en calculcant l'espérance mathématique pour tout :





Soit pour la variance du processus vérifie d'après les propriétés du bruit blanc l'égalité :



et pour :


sous la contrainte .


Donc au final, aucun impact sur la moyenne de ton processus, mais impact sur la variance et les covariances (à travers la variance du Bruit blanc).

[invite829bf453]

Wow, va me falloir quelques temps pour essayer d'encaisser tout ça, je repasserai si jamais j'ai d'autres questions

[inviteae4072e1]

Le vecteur Y dans ma démo correspond à Y = (Xt, Xt-1, ... Xt-p)'

[A voir en vidéo sur Futura]