Équation diophantienne du second degré

[invite97a526b6]

Bonjour,
Quelqu'un aurait-il une piste pour résoudre cette équation dans Z ?

x²+2y²+xy = 1
x€Z, y€Z, x et y différents de 0 et x et y de même signe.

Je l'ai retournée dans tous les sens sans succès...
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[invite57a1e779]

x²+2y²+xy = 1
x€Z, y€Z, x et y différents de 0 et x et y de même signe.

Les entiers , et sont strictement positifs, il est impossible qu'il soient de somme 1.

[invite97a526b6]

Les entiers , et sont strictement positifs, il est impossible qu'il soient de somme 1.

Oui évidemment. Comment n'y avais-je pas pensé ?!
Merci.

[anthony_unac]

Les entiers , et sont strictement positifs, il est impossible qu'il soient de somme 1.

x et y étant de même signe, ils seraient donc négatifs mais là ça ne va pas non plus car :

x^2 > 0 pour tout x < 0
2y^2 > 0 pour tout y < 0
xy > 0 pour tout couple (x,y) tels que x<0 et y<0

Moralité l'équation :
x^2+2y^2+xy = 1 n' a pas de solution dans Z car
x^2+2y^2+xy > 0 et vaut au minimum +4

Cordialement
Anthony

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

L'hypothèse "de même signe" est même inutile pour montrer que cette équation n'a pas de solution dans
qui est clairement strictement plus grand que 7/4.

[anthony_unac]

L'hypothèse "de même signe" est même inutile pour montrer que cette équation n'a pas de solution dans
qui est clairement strictement plus grand que 7/4.

Exact j'avais effectué également cette transformation de l'équation en une addition de deux carrés puis je me suis arrêté la.
Concernant l'exercice de FAN FAN je soupçonne ici une erreur de signe due à l'énoncé ou à FAN FAN lui même lors de la réécriture a moins que le but de l'exercice est de parvenir à la conclusion qu'il n'existe pas de solutions mais c'est peu probable.

Cordialement
Anthony

[invitecac02c44]

salut
voila une autre methode
x²+2y²+xy=1 ---------------(1)
=> (x²+y²)+y(x+y)=1
=> y est premier avec 1 (selon bezout)
=> y=1
on remplace dans l'equation (1) , on obtient
x²+x+1=0
dont les solutions sont complexes, par suite y a pas ede solutions dans Z²
qu'est ce que vous en pensez !

[anthony_unac]

salut
voila une autre methode
x²+2y²+xy=1 ---------------(1)
=> (x²+y²)+y(x+y)=1
=> y est premier avec 1 (selon bezout)
=> y=1
on remplace dans l'equation (1) , on obtient
x²+x+1=0
dont les solutions sont complexes, par suite y a pas ede solutions dans Z²
qu'est ce que vous en pensez !

Bonjour,

Pourquoi imposez vous y=1 ?

[invitecac02c44]

salut excusez moi j'ai pas fait attention pour la reponce
ben y=1 car y et premier avec 1 (les coefficients de x²+y² et x+y)d'ou y doit impecablement etre egal à 1