fonction de deux variables réels

[Vishnu]

Bonojur a tous,

Soit, f la fonction définie telle que:
-si (x,y) différent de (0,0) f(x,y)=(x^2*y)/(x^2+y^2)
-f(0,0,)=0

On doit déterminer si cette fonction est continue en (0,0).

La correction de mon livre s'écrit:
"Posons M=max(valeurabsolue(x),valeura bsolue(y))
valeurabsolue(f(x,y)) inférieur ou égale a M^3/M^2 c a d a M
f est don ccontinue en (0,0) sur R^2. "

Mais pour moi, ce raisonnement ne fait que démontrer la continuité dans deux directions supplémentaires a celles données par les fonctions partielles, celle en (p,p) et celle en (-q,-q). En effet qu'est ce qui nous dit que la fonction est continue en f(p,3p) quand p tend vers 0. Ca ne nous dit que qu'elle est continue en f(3p,3p).
Non?

Avant de lire la correction, j'avais calculer limite quand p tend vers 0 de f(valeurabsou(p),n*valeurabsol ue(p)) avec n appartient a R?

N'est-ce pas plus correct?
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[SchliesseB]

, y'a t'il vraiment écrit ça direct? c'est vrai (je crois) mais la façon dont cette égalité est obtenue est douteuse... en effet, au dénominateur, il faudrait minorer (et pas majorer)

néanmoins, si on montre que
, alors puisque M tend vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0) (peut importe la manière, je ne vois pas ce qui te gêne pour le max des valeurs absolues, on impose pas à x d'être égale à y), c'est gagné.

[Thorin]

Je ne vois pas ce qu'il y a de douteux ; pour un raisonnement aussi simple, ce serait perdre du temps et de l'encre que d'écrire que

[God's Breath]

Bonjour,

La meilleure façon de procéder serait d'écrire, pour : , inégalité trivialement vraie pour

Il me semble plus naturel d'utiliser la norme euclidienne , et de majorer, pour : , puisque et .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Cette inégalité est manifestement fausse.

God's Breath, je suis peut être en vacances, mais je ne vois pas ce qu'il y a de faux dans

Edit : j'ai rien dit

[SchliesseB]

ce que je trouvais douteux, c'est la manière de l'écrire même si l'inégalité est vraie

en effet, écrire:

veut dire:
"je majore le numérateur par M^3"
"je majore le dénominateur par M^2"
"puis je divise"

alors que non, il faudrait dans ce cas minorer le numérateur (d'ailleurs M^2 n'est pas un majorant, 2M^2 le serait) ce qu'on ne peut pas faire (il faut minorer dans ce cas par un truc qui tend vers 0 peut être "plus vite" que M)

Cette façon de faire, même si elle abouti au bon résultat, est fausse.

après, écrire directement dans une copie: me parraitrait "bluff" pour ma part...
par contre, en rajoutant

: , inégalité trivialement vraie pour

cela marche parfaitement

[Thorin]

veut dire:
"je majore le numérateur par M^3"
"je majore le dénominateur par M^2"
"puis je divise"

alors que non, il faudrait dans ce cas minorer le numérateur (d'ailleurs M^2 n'est pas un majorant, 2M^2 le serait) ce qu'on ne peut pas faire (il faut minorer dans ce cas par un truc qui tend vers 0 peut être "plus vite" que M)

Cette façon de faire, même si elle abouti au bon résultat, est fausse.

Je ne suis toujours pas d'accord.

SI il était marqué , alors, là, oui, en plus d'être une inégalité fausse, un tel raisonnement montrerait que le rédacteur a voulu majorer aussi le dénominateur pour minorer la fonction.

Mais le fait qu'il soit écrit montre bien qu'on a pas écrit mais

Evidemment, dans une copie de collège ou de lycée, on est en droit d'attendre quelques justifications ; mais dans une copie de niveau supérieur, ou dans un bouquin de maths, la manière dont c'est rédigé (le fait d'avoir écrit ) montre bien quelles majorations et quelle minorations ont été faites par l'auteur.

Le fait que passer à l'inverse change le sens de l'inégalité est une chose connue depuis, disons, le collège ; il y a un moment où il faudra bien accorder le bénéfice du doute lorsque l'on n'a par ailleurs aucune raison de douter du niveau et de l'honnêteté de la personne qui écrit. Si précédemment, la personne a déjà fait des fautes de simple majoration/minoration, alors, là, on pourra douter de ce qui est écrit.

Pour ma part, le simple fait que la personne, pour montrer la continuité d'une fonction à 2variables, pense à faire intervenir une nome et à majorer la valeur absolue de la fonction par cette norme au lieu de "faire tendre x et y vers 0 avec x=y", me mettrait en confiance sur le fait qu'elle sache minorer/majorer.

[SchliesseB]

Je suis entièrement d'accord avec vous après explication. J'ai bêtement cru qu'il voulait majorer mais il minore bien (ce qui est possible en fait...j'étais surement mal reveillé)

désolé