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fonction deux variables



  1. #1
    Mirage_2000

    fonction deux variables


    ------

    Bonjour,

    Je voudrais savoir si il y a une méthode spécifique pour trouver le min et le max d'une fonction a 2 variables?

    (du meme genre que pour une fonction a 1 variable avec les dérivée?)

    Par exemple, si je veux trouver le min (ou le max) de:

    F(H,C)=Racine(H^2+(C-2.H)^2)
    sachant que 20>H>6 et 66>C>60

    Je vous remercie par avance,

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : fonction deux variables

    Bonjour.

    Le principe est le même que pour une seule variable mais tu effectues le calcul des dérivées pour chacune d'elles.

    Pour ton exemple, il te faut calculer :
    * dF/dH (en considérant C comme une constante)
    * dF/dC (en considérant H comme une constante)
    Et tu annules simultanément les deux dérivées.
    Tu trouves alors l'ensemble des points (H,C) correspondant à des extrema locaux.

    L'étude peut être plus poussée en étudiant le type d'extremum auquel tu as affaire : point selle, maximum local, minimum local,... Cela nécessite quelques petits calculs supplémentaires par le biais des dérivées secondes notamment.

    Duke.

  4. #3
    Ledescat

    Re : fonction deux variables

    Salut.

    Sur un ouvert, une condition nécéssaire (et non suffisante) d'extremum local de f(x,y) en (a,b) est:


    ie:

    (en gros, la jacobienne est nulle en (a,b)).

    Après, je ne sais pas si tu connais la matrice Hessienne en (a,b), c'est une matrice symétrique définie par:



    Une condition nécéssaire de minimum local en (a,b) est que la matrice H est positive (son spectre est positif ou nul).

    Une condition suffisante de minimum local en (a,b) (avec df=0 toujours) est que la matrice H est définie positive (spectre strictement positif).

    Tu fais la même chose pour maximum, en remplaçant positif par négatif, voilà..
    Dernière modification par Ledescat ; 17/04/2008 à 12h48.
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    Scorp

    Re : fonction deux variables

    Comme tu vois, c'est un peu plus compliqué quand on a plusieurs variable. Finalement, c'est toujours le même principe : tu cherches les points critiques (la dérivée/gradient s'annulle) puis ensuite tu effectues un développement de Taylor autour de ce point. Tu retomberas sur le critère que te donne Ledescat.
    Pour compléter : pour des matrices d'ordre 2, ces conditions sont équivalentes à :
    - point scelle : det(H)<0
    - maximum : det(H)>0 et tr(H)<0
    - minimum : det(H)>0 et tr(H)>0
    ca évite d'aller chercher un spectre de matrice qui n'est pas utile (vu qu'on ne veut que le signe).

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Mirage_2000

    Re : fonction deux variables

    Merci à tous pour les explications!!!!

  8. #6
    Mirage_2000

    Re : fonction deux variables

    Que ce passe t-il si le déterminant de la matrice Hessienne est nulle?

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  10. #7
    Scorp

    Re : fonction deux variables

    C'est le cas qu'il faut éviter par ce que ca veut dire que le comportement de ta fonction est dû aux termes que tu as négligé (les termes d'ordre 3). Il faut donc aller chercher les dérivées troisièmes, faire un développement etc... Bref, ca devient assez calculatoire. Rassure toi, en principe, surtout dans les exo scolaire, ca n'arrive (pratiquement) jamais

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