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Fonction à deux variables periodiques



  1. #1
    dhahri

    Fonction à deux variables periodiques


    ------

    Bonjour, Je sais que toute fontion periodique est développable en série de Fourier.
    Je mle pose la question: Pour une fonction f de dans , Sous quelles conditions f est périodique? et est ce qu'on peut développer f en séroie de Fourier? Si oui les coefficients sont donnés par quoi?
    Je ne sais pas si vous pouvez me donner un lien ou je peux trouver les réponses à toutes ces questions?
    Merci bien davantage pour l'aide
    Amicalement
    Dhahri

    -----

  2. #2
    rvz

    Re : Fonction à deux variables periodiques

    Salut,

    Si ta fonction f de R^2 dans R est Z^2 périodique, il n'y a pas de problème, tu peux prendre les produits d'exponentielles, de type exp(k x)* exp(l y). Et ca marche.
    Plus généralement, sur un tore, il n'y a pas de problème, la base de Fourier pouvant se définir comme la base des fonctions propres de l'opérateur laplacien inverse avec conditions périodiques (dont on vérifie sans mal qu'il est compact d'où existence+ totalité de la base).
    Le problème est qu'en dehors des tores carrés, les bases de fonctions propres du laplacien ne sont pas faciles à exprimer :argh:
    __
    rvz

  3. #3
    feldid

    Re : Fonction à deux variables periodiques

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut,

    (dont on vérifie sans mal qu'il est compact d'où existence+ totalité de la base).
    __
    rvz
    et auto-adjoint non? si c'est juste compact (ou à résolvante compacte) ça ne marche pas il me semble...

  4. #4
    rvz

    Re : Fonction à deux variables periodiques

    De toute façon, ici il est autoadjoint, donc pas de problème.

    Mais je crois me souvenir qu'il n'y a pas besoin de l'hypothèse autoadjoint : Ca permet "juste" de localiser le spectre sur la droite réélle.
    Par ailleurs, j'ai bien parlé de l'opérateur laplacien inverse dans mon précédent post et c'est une erreur, puisqu'il n'est pas inversible (avec condition périodique, toute constante est dans le noyau). Donc je retire et je prétends juste que l'opérateur laplacien + condition aux limites périodiques est à résolvante compacte.

    __
    rvz

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    martini_bird

    Re : Fonction à deux variables periodiques

    Salut,

    Plus généralement, sur un tore, il n'y a pas de problème, la base de Fourier pouvant se définir comme la base des fonctions propres de l'opérateur laplacien inverse (?) avec conditions périodiques...
    Tu peux développer comment le laplacien apparaît ? Ou bien aurais-tu un doc là-dessus, je suis intéressé !

    Je ne suis pas très calé en analyse fonctionnelle (ni ailleurs ), mais je crois que ça pourrait me débloquer dans mes lectures et notamment au sujet des formes de Maass (ce sont des formes automorphes, fonctions propres du laplacien hyperbolique).

    Merci d'avance !

  7. #6
    rvz

    Re : Fonction à deux variables periodiques

    Salut,

    En fait, le laplacien apparaît, mais on pourrait faire apparaître n'importe quel opérateur autoadjoint à résolvante compacte (avec toutes ces hypothèses, je suis sûr que ça marche) du type - div( A \grad u) avec A une matrice définie positive.

    Le truc, c'est que la base de Fourier diagonalise le laplacien : A la base, c'est même comme ça qu'elle a été inventé, pour résoudre l'équation de la chaleur et des ondes (Opérateurs d_t - d_xx et d_tt-d_xx). En effet, c'est un exercice élémentaire de résoudre ça en faisant fourier en espace.

    Après, si tu veux résoudre ces mêmes équations sur un domaine borné, et que tu veux définir une théorie "Fourier like", le plus simple est de prendre les fonctions propres du laplacien.

    Pour les références :
    Du truc le plus élémentaire (mais pas trop, ie calé pour toi ) au plus dur

    http://www.math.jussieu.fr/~maurey/ts012/poly/mths.pdf : Les derniers chapitres semblent appropriés pour reprendre calmement les choses. Peut-être cela manque-t-il d'exemple, mais essaye d'illustrer tout ça avec le laplacien sur des ouverts bornés/sur R, en jouant avec les conditions limites.

    Analyse fonctionnelle, Brézis : Notamment, la partie sur les opérateurs compacts (chapitre 6 je crois) et la partie sur la résolution de l'équation de la chaleur et des ondes (deux derniers chapitres). Histoire de bien se souvenir comment ça marche.

    Normalement, avec ces deux références, ça doit te sembler plus clair.

    Analyse Fonctionnelle, Rudin, notamment la troisième partie, le début étant supra chiant sur des evt localement foo et bar argh ...

    Problèmes aux limites non homogènes, Lions Magenes : QUE la première partie, le reste est vraiment de l'analyse EDP tourné vers les applications, avec des formulations extrèmement générales.
    Mais la première partie te montre comment on peut s'amuser à définir des espaces d'interpolation via des bases intelligentes cf définition des espaces H^s avec s réél.

    Puisqu'on dérive, dérivons bien : C'est quoi le laplacien hyperbolique ?

    __
    rvz

  8. #7
    martini_bird

    Re : Fonction à deux variables periodiques

    Salut,

    merci pour les réfs : j'ai parcouru le pdf de Maurey et ressorti le Brézis (que je n'avais pas touché depuis un moment... ). Il n'est pas question du laplacien dans le premier, mais dans le second, je lis : « Le problème peut être résolu par décomposition sur une base hilbertienne. A cet effet, il est très commode de choisir une base constituée de fonctions propres de , etc. » Bref, je vais regarder ça de près, mais je crois que je manque surtout d'exemples : je vais donc suivre ton conseil et mettre la main à la pâte.

    Merci !

    Sinon le non-Euclidean Laplacian, que j'ai traduit par laplacien hyperbolique, c'est , défini pour les fonctions sur le demi-plan de Poincaré.

    Cordialement.

  9. #8
    rvz

    Re : Fonction à deux variables periodiques

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Sinon le non-Euclidean Laplacian, que j'ai traduit par laplacien hyperbolique, c'est , défini pour les fonctions sur le demi-plan de Poincaré.
    ReSalut,

    C'est bizarre comme truc, mais la théorie devrait être plus joli en considérant
    Opérateur dont la partie principale est la même (je veux dire à opérateur d'ordre inférieur près) mais qui à l'avantage d'avoir une formulation variationnelle joliment symétique. Il est cependant probable que tu aies beaucoup de problèmes au voisinage de y=0 pour avoir une théorie sympathique.

    __
    rvz

  10. #9
    martini_bird

    Re : Fonction à deux variables periodiques

    Salut,

    mais qui à l'avantage d'avoir une formulation variationnelle joliment symétique.
    Si tu le dis...

    Toujours est-il que l'opérateur tel que je l'ai écrit est invariant par action de SL(2, R) sur H (le demi-plan de Poincaré), et c'est une propriété importante pour la théorie des formes automorphes. Après, je ne saurais pas t'en dire beaucoup plus, sinon que plus loin dans le livre, on rencontre le weight k non-Euclidean Laplacian :

    et le Laplace-Beltrami operator


    Cordialement.

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