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majoration d´une fonction á deux variables



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    majoration d´une fonction á deux variables


    ------

    bonjour,
    je me casse la tête depuis 2 jours sur un problème de majoration: Il s´agit de l´intégrale suivante:

    J(t) = intégrale (0 á +oo) e^-(x-t/x)^2 .dx

    Il s´agit de prouver que J est dérivable par dérivation sous signe somme, donc entre autre que la dérivée de f(x,t) = e^-(x-t/x)^2 par rapport á t est bornée par une fonction g intégrable et indépendante de t.

    Dans l´exo on nous donne une tuyau: Il s´agit de prendre alpha < t < Beta. g peut être dépendante de alpha et beta mais évidement pas de t. De plus on doit s´aider d´une partie antérieure de l´exo, dans laquelle on a prouvé que pour tout x la fonction x^2 * e^(-x^2) est bornée. J´ai trouvé qu´elle est bornée par 1/e.

    Mais j´ai eu beau tourner cette de dérivée dans tous les sens, j´arrive à la majorer mais pas par une fonction indépendante de t.

    Comme dérivée j´ai trouvé:

    df(t,x)/dt = (1 - t/x^2)*e^-(x-t/x)^2

    Je suis sûr de pas m´être gouré dans la dérivée, car j´ai aussi vérifié avec Mupad.

    merci d´avance

    christophe

    -----

  2. #2
    jeanlouisb

    Re : majoration d´une fonction á deux variables

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    bonjour,
    je me casse la tête depuis 2 jours sur un problème de majoration: Il s´agit de l´intégrale suivante:

    J(t) = intégrale (0 á +oo) e^-(x-t/x)^2 .dx

    Il s´agit de prouver que J est dérivable par dérivation sous signe somme, donc entre autre que la dérivée de f(x,t) = e^-(x-t/x)^2 par rapport á t est bornée par une fonction g intégrable et indépendante de t.

    Dans l´exo on nous donne une tuyau: Il s´agit de prendre alpha < t < Beta. g peut être dépendante de alpha et beta mais évidement pas de t. De plus on doit s´aider d´une partie antérieure de l´exo, dans laquelle on a prouvé que pour tout x la fonction x^2 * e^(-x^2) est bornée. J´ai trouvé qu´elle est bornée par 1/e.

    Mais j´ai eu beau tourner cette de dérivée dans tous les sens, j´arrive à la majorer mais pas par une fonction indépendante de t.

    Comme dérivée j´ai trouvé:

    df(t,x)/dt = (1 - t/x^2)*e^-(x-t/x)^2

    Je suis sûr de pas m´être gouré dans la dérivée, car j´ai aussi vérifié avec Mupad.

    merci d´avance

    christophe
    est ce que t>0?
    Si c'est le cas pas de pb: tu majores t/x² e^-t²/x² par1/(alpha*e) aprés avoir développé l'expression de f'(x,t)
    sinon si t appartient à R dis le moi( il reste à majorer au voisinage de 0)

  3. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : majoration d´une fonction á deux variables

    oui, effectivement, j´ai oublié d´écrire que t>0.
    par contre, j´ai pas tout de suite compris ta réponse, je vais y méditer.

    merci

  4. #4
    jeanlouisb

    Smile Re : majoration d´une fonction á deux variables

    je viens de te répondre mais je ne vois pas ma réponse alors je recommence unpeu plus vite:
    tu éclate l'exponentielle ainsi
    e^-(x²-2t+t²/x²)=(e^-x²)(e^2t)(e^t²/x²)
    puis tu majores tous les morceaux et il te restes des ke^-x² tous integrables
    Jean-Louis

  5. A voir en vidéo sur Futura

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