majoration d´une fonction á deux variables

[invitee75a2d43]

bonjour,
je me casse la tête depuis 2 jours sur un problème de majoration: Il s´agit de l´intégrale suivante:

J(t) = intégrale (0 á +oo) e^-(x-t/x)^2 .dx

Il s´agit de prouver que J est dérivable par dérivation sous signe somme, donc entre autre que la dérivée de f(x,t) = e^-(x-t/x)^2 par rapport á t est bornée par une fonction g intégrable et indépendante de t.

Dans l´exo on nous donne une tuyau: Il s´agit de prendre alpha < t < Beta. g peut être dépendante de alpha et beta mais évidement pas de t. De plus on doit s´aider d´une partie antérieure de l´exo, dans laquelle on a prouvé que pour tout x la fonction x^2 * e^(-x^2) est bornée. J´ai trouvé qu´elle est bornée par 1/e.

Mais j´ai eu beau tourner cette de dérivée dans tous les sens, j´arrive à la majorer mais pas par une fonction indépendante de t.

Comme dérivée j´ai trouvé:

df(t,x)/dt = (1 - t/x^2)*e^-(x-t/x)^2

Je suis sûr de pas m´être gouré dans la dérivée, car j´ai aussi vérifié avec Mupad.

merci d´avance

christophe
-----

[jeanlouisb]

bonjour,
je me casse la tête depuis 2 jours sur un problème de majoration: Il s´agit de l´intégrale suivante:

J(t) = intégrale (0 á +oo) e^-(x-t/x)^2 .dx

Il s´agit de prouver que J est dérivable par dérivation sous signe somme, donc entre autre que la dérivée de f(x,t) = e^-(x-t/x)^2 par rapport á t est bornée par une fonction g intégrable et indépendante de t.

Dans l´exo on nous donne une tuyau: Il s´agit de prendre alpha < t < Beta. g peut être dépendante de alpha et beta mais évidement pas de t. De plus on doit s´aider d´une partie antérieure de l´exo, dans laquelle on a prouvé que pour tout x la fonction x^2 * e^(-x^2) est bornée. J´ai trouvé qu´elle est bornée par 1/e.

Mais j´ai eu beau tourner cette de dérivée dans tous les sens, j´arrive à la majorer mais pas par une fonction indépendante de t.

Comme dérivée j´ai trouvé:

df(t,x)/dt = (1 - t/x^2)*e^-(x-t/x)^2

Je suis sûr de pas m´être gouré dans la dérivée, car j´ai aussi vérifié avec Mupad.

merci d´avance

christophe

est ce que t>0?
Si c'est le cas pas de pb: tu majores t/x² e^-t²/x² par1/(alpha*e) aprés avoir développé l'expression de f'(x,t)
sinon si t appartient à R dis le moi( il reste à majorer au voisinage de 0)

[invitee75a2d43]

oui, effectivement, j´ai oublié d´écrire que t>0.
par contre, j´ai pas tout de suite compris ta réponse, je vais y méditer.

merci

[jeanlouisb]

je viens de te répondre mais je ne vois pas ma réponse alors je recommence unpeu plus vite:
tu éclate l'exponentielle ainsi
e^-(x²-2t+t²/x²)=(e^-x²)(e^2t)(e^t²/x²)
puis tu majores tous les morceaux et il te restes des ke^-x² tous integrables
Jean-Louis

[A voir en vidéo sur Futura]