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[Résolution] Equation différentielle



  1. #1
    Witten

    [Résolution] Equation différentielle


    ------

    Bonjour,

    En essayant de résoudre un problème de physique je suis tombé sur l'équation différentielle suivante :



    Ou a et b sont des constantes. J'ai fait des simplifications au départ pour trouver une équation différentielle que je sais résoudre (l'approximation était bonne), mais je me demande si il y a un méthode pour trouver un solution 'exacte' mathématiquement.

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : [Résolution] Equation différentiel

    Tu peux commencer par :





    ce qui s'intègre bien.

  4. #3
    Witten

    Re : [Résolution] Equation différentiel

    Merci beaucoup, falait le voir! Et en effet ça s'intégre très bien, je trouve :



    Mais après . Il y a déjà plus que du premier ordre, mais les carrés m'embêtent.

  5. #4
    rvz

    Re : [Résolution] Equation différentiel

    Je crois que le mot que tu cherches est variablesséparées...

    __
    rvz

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Witten

    Re : [Résolution] Equation différentiel

    Dans cette équation différentielle, a et b sont des constantes et y est un fonction à une seule variable, donc je vois pas comment faire une séparation des variables (ou alors j'ai une fois du mal comprendre 'séparation des variables', rvz).

  8. #6
    rvz

    Re : [Résolution] Equation différentiel

    Tu peux écrire y' comme dy/dx si tu veux.
    Ici, tu prends les racines, et tu obtiens quelque chose comme
    dy/f(y) = dx

    f est une fonction un peu moche, mais intégrable, d'où un résultat. (Après faut discuter du signe de la dérivée, etc...)

    __
    rvz

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  10. #7
    Witten

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    Ahhhh, je crois que maintenant je vois ce que tu veux dire par variables séparées. Moi ce que j'avais en tête comme exemple, c'était :



    Donc pour revenir à l'équation :



    Si j'ai bien compris, on transforme en :



    puis en :



    Et après on isole y ? Ca risque d'être marrant . Merci beaucoup pour votre aide.

  11. #8
    Bleyblue

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    Salut,

    Il faudrait déja calculer cette primitive
    Une fois que ce sera fait tu pourras essayer d'isoler y mais je doute fort que tu y parviennes Tu tomberas plutôt sur quelque chose comme :

    f(y) = x²/2 + C

  12. #9
    Bleyblue

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    C'est dx dans le membre de droite et non pas x

    donc f(y) = x + C

  13. #10
    Witten

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    Oui, c'est bien :





    On cherche la primitive d'une fonction qui est la multiplication de deux fonctions dont on connaît la primitive, et pourtant j'y arrive pas, pas doué . J'ai bien sur essayé une intégration par partie, mais je tombe sur des logarithme néperien affreux. La seule chose que je sais c'est que ça doit être une fonction périodique, car le phénomène qui m'a donné cette équation différentielle est périodique. Avec l'expression au dénominateur il y a fort à parier que s'en sera une.
    Dernière modification par Witten ; 14/04/2006 à 18h02.

  14. #11
    Witten

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    Rebonjour,

    J'ai encore essayé de faire un changement de variable sur cette intégrale, mais je suis pas sur que ce soit juste (le changement de variable c'est pas mon truc), c'est ce pourquoi je viens le poster. On avait :



    Alors j'ai posé :



    donc



    Et je trouve :



    Mais après je suis embêté par la fonction complexe dans l'intégrale, car j'ai sais pas comment on intègre une fonction complexe. Ce serait bien si quelqu'un pouvait me dire comment il faut faire (si ma transformation est juste).

    Merci d'avance

  15. #12
    Bleyblue

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    Et-tu sûr que cette primitive est exprimable ?

    Moi je ne pense pas tu sais ... il me semble que j'avais déja essayé de m'attaquer à un cas similaire dans le temps et j'en étais arrivé à la conclusion que cette intégrale n'était pas exprimable.

    Peut être avec des séries mais ça risque d'être difficile ...

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  17. #13
    matthias

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    Avant de te lancer dans plein de beaux calculs, qu'as tu fait de la première constante d'intégration ?
    Il devrait y avoir une constante supplémentaire dans ton équation du message #3, à moins que tu n'aies des conditions initiales particulières. Et ça risque de ne pas te faciliter les calculs ...

  18. #14
    Witten

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    Avant de te lancer dans plein de beaux calculs, qu'as tu fait de la première constante d'intégration ?
    Il devrait y avoir une constante supplémentaire dans ton équation du message #3, à moins que tu n'aies des conditions initiales particulières. Et ça risque de ne pas te faciliter les calculs ...
    Tu as raison, j'ai encore oublié la constante d'intégration. La seule condition initiale que j'ai c'est :

    y'(0)=0

    J'accorde que l'utilité n'est pas énorme, mais à chaque fois je tombe sur quelque chose de nouveau, là par exemple c'est "comment intégrer une fonction complexe" (je m'étais pas encore posé la question).

  19. #15
    martini_bird

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    Salut,

    Citation Envoyé par Witten
    "comment intégrer une fonction complexe"
    Il suffit d'intégrer séparément la partie réelle et la partie imaginaire :



    En d'autres termes, l'intégrale est -linéaire.

    Néanmoins, tout ceci cache la possibilité d'intégrer des fonctions complexes sur des chemins dans le plan, mais c'est une autre histoire ...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  20. #16
    Witten

    Re : [Résolution] Equation différentielle

    Merci pour l'explication martini_bird, mais maintenant je me demande encore plus ce que représente l'intégrale d'une fonction complexe .
    Dans le cas que tu donne la fonction complexe dépend d'un seul paramètre 'x' (qui pour moi est différent de la coordonnée x), ensuite on additionne l'intègrale de la 'composante' en x et l'intégrale de la composante en 'y' du nombre complexe, et je vois pas trop ce que ça représente. Si on intègrait le module du nombre complexe je dirais qu'on calcule une surface.

    Et pour revenir à la question de départ, j'avais :



    Mais je vois plus trop ce qu'on pourrait faire, j'ai cru que ça allait simplifier, mais non. Il y aurait pas un moyen de calculer l'intégrale de f(x) si on connait l'intégrale de (f(x))²?

    Merci pour vos réponses.

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