Somme indexée sur un ensemble non dénombrable

[Flyingsquirrel]

Bonjour

On peut montrer que le support d'une famille de réels positifs sommable indexée sur un domaine est au plus dénombrable. En particulier, il n'existe pas de famille de réels strictement positifs, indexée sur et sommable. Peut-on quand même fabriquer une famille de réels strictement positifs telle que existe ? (i.e. soit )

Je ne vois ni comment trouver une telle famille, ni comment montrer que c'est impossible. (je ne sais pas comment manipuler cette somme à cause de l'indexation sur ...) Si certains d'entre vous ont des idées, qu'ils n'hésitent pas !

Merci
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[invitebb921944]

Bonjour,
j'ai beau te relire, j'en arrive toujours à la conclusion que ta deuxième phrase répond à ta question. Qu'est-ce que j'ai mal interprété ?

[Flyingsquirrel]

Ça doit être la définition de la sommabilité : une famille de réels positifs est sommable sur ssi . Ça revient à dire que la somme doit exister quelque soit l'ordre dans lequel on fait la sommation, condition que je n'impose pas en définissant l'existence par .

[Flyingsquirrel]

Personne n'a d'idée ? Où alors la question n'est pas claire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Personne n'a d'idée ? Où alors la question n'est pas claire ?

Il me semble que Ganash a parfaitement répondu à ta question. Quel sens voudrais-tu donner à autre que celui de la sommabilité de la famille, qui impose un support au plus dénombrable ?

[Flyingsquirrel]

Donc ma question n'était pas claire.

Si je définis l'existence de par "il existe , bijective telle que prenne une valeur finie", peut-on trouver une famille de réels strictement positifs telle que existe ?

En gros, je cherche l'analogue de mais indexée sur [0,1] : la famille n'est pas sommable (théorème de réarrangement de Riemann) mais si on somme les termes à croissant, on trouve donc la somme existe avec ma définition.

Personne n'a d'idée ? Ou alors la question n'est pas claire ?

[invite57a1e779]

Donc ma question n'était pas claire.

Disons qu'elle était mal explicitée.

Si je définis l'existence de par "il existe , bijective telle que prenne une valeur finie"

n'est pas plus défini que ...

En gros, je cherche l'analogue de mais indexée sur [0,1] : la famille n'est pas sommable (théorème de réarrangement de Riemann) mais si on somme les termes à croissant, on trouve donc la somme existe avec ma définition.

Nous y voilà...
La définition fait intervenir les sommes des sous-familles finies, de toutes les sous-familles finies, et la somme ne fait pas intervenir un "ordre des termes", c'est-à-dire ne nécessite pas une relation d'ordre sur l'ensemble d'indices .
Dans le cas des séries, on ne fait intervenir dans la définition de la convergence que certaines sommes finies, les sommes partielles, ce qui conduit à des résultats différents.
En particulier, dans le cas d'une série semi-convergente, on peut changer l'ordre des termes pour modifier la somme, voire faire diverger la série.

Mais la structure de qui permet cette définition n'est pas une simple structure d'ordre, ni même une simple structure d'ordre total, mais une structure de bon ordre : il faut, dans les sommes partielles, savoir quel est le terme suivant à rajouter.

Or un ensemble tel que admet des structures bien ordonnées (théorème de Zermelo, dès que l'on travaille avec axiome du choix), mais aucune d'elles ne s'impose plus particulièrement, contrairement à la situation de où l'ordre usuel s'impose. Tu auras donc autant de notion de famille "semi-sommable" indexées par que de relations de bon ordre sur cet intervalle...

[Flyingsquirrel]

D'accord, on pourrait donc définir la "semi-sommabilité" en choisissant un bon ordre puis en disant qu'une famille est "semi-sommable relativement à ce bon ordre" si et seulement si la suite des sommes partielles converge. En pratique, d'après ce que j'ai lu sur la notion d'ensemble bien ordonné, on n'est pas capable de munir d'une structure de bon ordre qui ne soit pas "compliquée" donc je crois que je n'aurais jamais d'exemple de famille "semi-sommable" indexée sur . Comme quoi, quand on perd la dénombrabilité, ça complique beaucoup les choses.