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cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable



  1. #1
    metacarambar

    cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable


    ------

    Le cardinal de groupe des permutations d'un ensemble fini E est n! (avec Card(E)=n)
    Mais pour le cas infini, que peut-on dire du cardinal du groupe des bijections de E dans lui-même avec E dénombrable ?

    merci.

    -----

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  3. #2
    Pio2001

    Re : cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable

    Je pense qu'il est infini non dénombrable.

    Voici ma démonstration.
    Tout ensemble infini dénombrable peut être mis en bijection avec N, l'ensemble des nombres entiers naturels. Donc le cardinal de l'ensemble des bijections d'un ensemble infini dénombrable est égal au cardinal de l'ensemble des bijections de N.
    On sait que l'ensemble des parties de N est infini non dénombrable.
    Un cardinal infini non dénombrable est plus grand qu'un cardinal infini dénombrable.
    La réunion de deux ensembles dénombrables est dénombrable. Il suffit de mettre le premier en bijection avec les nombres pairs, et le second avec les nombres impairs.
    L'ensemble des parties de N est la réunion de l'ensemble des parties de N de cardinal inférieur ou égal à 1, et de l'ensemble des parties de n de cardinal supérieur à 1.
    L'ensemble des parties de N de cardinal inférieur ou égal à un est la réunion de l'ensemble vide et de N. Il est donc dénombrable.
    Si l'ensemble des parties de N de cardinal supérieur à 1 était dénombrable, sa réunion avec l'ensemble des parties de N de cardinal inférieur ou égal à 1 serait dénombrable aussi. Comme ce n'est pas le cas, l'ensemble des parties de N de cardinal supérieur à 1 est infini non dénombrable.

    Or on peut mettre cet ensemble en bijection avec une partie des bijections de N.
    Ce sont celles qui associent à tout entier n lui-même, sauf s'il fait partie de la partie de N (de cardinal supérieur à 1) considérée, alors il associe l'élément suivant de cette partie (par permutation, le dernier est associé au premier).

    L'ensemble des bijections de N est donc au moins aussi grand que l'ensemble des parties de N de cardinal supérieur à 1, car à chacune de ces parties on peut associer une bijection différente.
    Donc il est infini non dénombrable.

    Bon, c'est pas très clair...
    En bref disons qu'on considère toutes les parties de N qui contiennent au moins deux éléments, et que pour chacune d'elles, on construit une bijection de N qui effectue une permutation des éléments de cette partie, et qui ne touche à rien d'autre dans N. Ca fait une quantité infinie non dénombrable de bijections.

  4. #3
    Sylvestre

    Re : cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Pio2001
    Or on peut mettre cet ensemble en bijection avec une partie des bijections de N.
    Ce sont celles qui associent à tout entier n lui-même, sauf s'il fait partie de la partie de N (de cardinal supérieur à 1) considérée, alors il associe l'élément suivant de cette partie (par permutation, le dernier est associé au premier).
    Et si cette partie est infinie, que fait-on avec le dernier ? ...
    ou peut-être le premier.

  5. #4
    Sylvestre

    Re : cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable

    Bon, je vais essayer d'avancer un peu.

    L'ensemble des bijections de N dans N est de cardinal inférieur à , or

    Donc il est inférieur à la cardinalité de R.

    Il ne reste plus qu'à exhiber un nombre de bijections équivalent à la cardinalité de R pour avoir le résultat que le nombre cherche est bien cette dernière.
    Je ne sais pas si c'est vrai. Je cherche encore.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    µµtt

    Re : cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable

    Salut,


    Je pense que c'est le même cardinal que IR vu que

    IR = 2^IN <= S(N) <= IN^IN = IR

  8. #6
    Sylvestre

    Re : cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable

    Citation Envoyé par µµtt
    Salut,


    Je pense que c'est le même cardinal que IR vu que

    IR = 2^IN <= S(N) <= IN^IN = IR
    Je pense que c'est vrai, mais comment fais-tu pour montrer la première inégalité ?

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  10. #7
    Pio2001

    Re : cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable

    Citation Envoyé par Sylvestre
    Et si cette partie est infinie, que fait-on avec le dernier ? ...
    ou peut-être le premier.
    Bonne question. Eh bien dans ce cas, on les permute deux à deux.
    On associe le premier au second et le second au premier.
    On associe le troisième au quatrième et le quatrième au troisième.
    On associe le cinquième au sixième, et le sixième au cinquième.
    etc.

  11. #8
    Sylvestre

    Re : cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable

    Citation Envoyé par Pio2001
    Bonne question. Eh bien dans ce cas, on les permute deux à deux.
    On associe le premier au second et le second au premier.
    On associe le troisième au quatrième et le quatrième au troisième.
    On associe le cinquième au sixième, et le sixième au cinquième.
    etc.
    D'accord, donc grâce à tous les postes précédents, nous avons montré que le cardinal de l'ensemble des bijections de IN dans IN est le même que celui de IR.

  12. #9
    fderwelt

    Re : cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable

    Citation Envoyé par Sylvestre
    D'accord, donc grâce à tous les postes précédents, nous avons montré que le cardinal de l'ensemble des bijections de IN dans IN est le même que celui de IR.
    C'est un argument similaire (diagonale de Cantor) qui permet de monter que R n'est pas dénombrable.

    -- françois

  13. #10
    metacarambar

    Re : cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable

    cool merci à tous.

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