groupe simple de cardinal 2520
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groupe simple de cardinal 2520



  1. #1
    invite35452583

    groupe simple de cardinal 2520


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    Je poste ceci que je viens de rédiger (la démo remonte à plusieurs années par contre). Ca intéressera peut-être quelqu’un (même si le résultat n’a rien de nouveau, je ne l’ai jamais vu montrer ainsi).
    Le but est de montrer « à la main » que A7 est le seul groupe simple de cardinal 2520. (à isomorphisme près).
    Le matériel utilisé se "contente" de :
    i) la théorie de base des groupes (définition, morphisme, sous-groupes, sous-groupes distingués, groupes simples, théorème de Lagrange, groupes symétriques et groupes alternés, opération d’un groupe sur un ensemble…)
    ii) le théorème de Sylow et deux de ses corollaires :
    a) deux parties A et B d’un même p-Sylow P d’un groupe fini G et normalisées par G sont conjuguées dans G si et seulement si elles sont conjuguées dans le normalisateur de P dans G).
    b) un p-groupe normalise un p-Sylow équivaut à ce p-groupe est inclus dans ce p-Sylow (le théorème de Sylow n’est pas indispensable mais ça va plus vite avec lui).
    iii) les 2 structures de groupes de cardinal p² (p premier).
    Je cache des parties pour faciliter la lecture des différentes étapes.
    J'ai pas eu le courage de réindicer (le copier-coller à partir de word détruit l'indiçage) j'espère que cela ne génera pas trop la lecture.)

    Montrons qu’il n’y a qu’une structure de groupe simple de cardinal 2520 en injectant G dans un groupe de transformation d’un graphe construit à partir de la 3-composante de G.

    1ère étape : données numériques
    Montrons que G contient 70 3-Sylow, chacun d’eux contient 2 3-cycles d’une même classe de conjugaison interne, eux-mêmes inclus chacun dans 4 3-Sylow.

    A) Montrons que n3=70.
    On notera S l’ensemble des 3-Sylow.
    Le nombre de 3-Sylow n3 est, d’après le théorème de Sylow, congru à 1 modulo 4 et divise lGl/9=280. Les valeurs, a priori possibles, sont 1, 4, 7, 10, 28, 40, 70 et 280.

    Les cas n3=1 et n3=4 sont triviaux à éliminer :
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    Pour exclure les cas n3=7, 10, 28 ou 40 montrons que ∩P NG(P), P décrivant
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    Pour exclure le cas n3=280 on va montrer en premier lieu qu’il y a 2240 éléments d’ordre un multiple de 3. On en déduira une contradiction sur le nombre total d’éléments.
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    B) intersections des 3-Sylow
    Pour une classe C de conjugaison interne de 3-cycles, on note k le nombre d’éléments de C inclus dans un 3-Sylow quelconque et on note i le nombre de 3-Sylow dans lesquels sont inclus un élément quelconque de C. Nous allons montrer que les seuls cas possibles sont (k,i)=(1,1), (k,i)=(2,1) et (k,i)=(2,4). Nous montrerons ensuite qu’il y a une et une seule du dernier type.

    Montrons que k=1 ou 2
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    Montrons que si k=1 alors i=1
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    Montrons que si k=2 alors i=1 ou 4
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    Montrons qu’il existe une et une seule classe C de type (k,i)=(2,4)
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    Désormais C désignera cette classe.

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  2. #2
    invite35452583

    Re : groupe simple de cardinal 2520

    2ème étape : structure géométrique
    On dira que deux éléments de C sont liés s’ils sont dans un même élément de S. Puisque un élément de S relie exactement deux sommets on a un graphe dont les 3-Sylow sont les arêtes et les éléments de C les sommets.
    Nous allons d’abord étudier ce graphe pour injecter G dans le groupe de transformation d’un graphe isomorphe à celui de G mais indépendant de G.

    A) Structure du graphe de G
    Pour deux sommets s, on pose d(s,s’)=min{k ; il existe s0=s, s1, s2,…,sk=s’ avec si et si+1 liés pour tout 0≤i<k} (d(s,s)=0).
    On pose Li(s)={s’ ; d(s,s’)=i}. Les Li(s) sont stables par conjugaison pour NG(s).
    Nous allons d’abord montrer que C=L0(s) Ц L1(s) Ц L2(s) Ц L3(s) et calculer le cardinal de chacun d’eux. (le lecteur pourra alors vérifier que d est bien une distance ce qui justifie l’utilisation de cette notation).
    La disjonction de L0(s) et de L1(s) est évidente de même que lL0(s)l=1 et lL1(s)l=4.

    Il n’y a pas de triangle
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    Il n’y a pas de carré non dégénéré
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    L1(s), L2(s) sont chacun une classe de conjugaison pour NG(s)
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    Il n’y a pas de pentagone
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    lL3(s)l=18 et donc C=L0(s) Ц L1(s) Ц L2(s) Ц L3(s)
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    Les sommets L3(s) et les arêtes entre eux forment 3 hexagones
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    La relation « être relié via L3(s) », définie sur L2(s) par sRs’ si s=s’ ou s’il existe un sommet de L3(s) lié à s et s’, est une relation d’équivalence.
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    B) groupe G’ des transformations du réseau S’ et conclusion

    Définition de la structure du graphe indépendamment de G par le biais de L1(s) et L2(s)/R
    On pose B={a, b, c, d} F={1, 2, 3}.(« branches » et « familles »)
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    Isomorphisme entre G’o et S(B)xS(F)
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    Cardinal de G’, signature, isomorphisme entre G et un sous-groupe G’’ de G’
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    Conclusion :
    G est donc isomorphe à G’’, il n’y a donc qu’une structure de groupe simple de cardinal 2520, à savoir A7 le groupe alterné de 7 éléments.

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