Marathon d'algèbre (1 : Groupes)

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !
Bon j'ai acheté "MATHS Agreg : Cours d'algèbre" de Daniel Perrin pour progresser un peu (je viens d'avoir ma licence) et bien entendu, les exercices proposés à la fin de chaque chapitre ne sont pas corrigés (ce serait trop beau).
Donc plutôt que de déprimer pendant des heures et d'accepter ma frustration, je pensais que si quelques personnes sur ce forum étaient motivés, on pourrait résoudre ça tous ensemble...

Donc voilà, je lance les exercices dans l'ordre et au fur et à mesure (j'attendrai qu'on les corrige pour avancer !)
Je dirai qu'il faut un niveau de Licence minimum pour pouvoir se lancer sur ces problèmes mais c'est à titre indicatif !

A. Groupes cycliques et (Z/nZ)*
1) Montrer que tout sous-groupe (respectivement tout quotient) d'un groupe cyclique est cyclique.
Supposons donc G cyclique, alors G est monogène (i.e. : engendré par un seul élément) et G est fini.

Soit H un sous-groupe quelconque de G. Le théorème de Lagrange nous assure que G et G/H sont finis par la formule |G|=|H|*|G/H|.
Supposons |G|=n.
On a G={1,g,g²,...,g^(n-1)}=<g>
Bon là j'ai un peu du mal à montrer que H et G/H sont monogènes.
On peut avoir H={1} mais ce n'est pas très intéressant...
Du moment que H contient g, alors H=G (et H est monogène)
Je ne vois pas bien comment généraliser si H contient 1 et g² par exemple.


2)Montrer que si d est un diviseur de n, Z/nZ a exactement un sous-groupe et un quotient d'ordre d (l'ordre d'un groupe désigne ici son cardinal)
On a bien sur card(Z/nZ)=n
En utilisant le théorème de Lagrange, peut-on déduire que Z/nZ a un sous-groupe ET un quotient d'ordre d ou un sous groupe OU un quotient d'ordre d ? J'imagine que c'est ET mais ce n'est pas excessivement clair pour moi.
Il faut maintenant montrer que ce sous-groupe et ce quotient sont uniques. Sylow et tout le tsointsoin ne sert à rien puisque n n'est pas nécessairement premier.
Sinon petite précision : un sous-groupe de Z/nZ est de la forme Z/dZ ou d divise n non ? Quelle forme à un quotient de Z/nZ ?


3)Soit G un groupe dont tout sous-groupe propre est cyclique. G est-il nécessairement cyclique, abélien ? Si G est de plus supposé abélien est-il cyclique ? Exemples.
Bon on a en premier lieu la réciproque de la question 1).
Je n'ai pas d'idées


4)Soit G un groupe, Z son centre. On suppose G/Z cyclique. Montrer que G est abélien.
Application : montrer que tout sous-groupe d'ordre p² avec p premier est isomorphe à Z/p²Z ou a Z/pZ*Z/pZ
Z={x appartenant à G tel que pour tout y appartenant à G, xy=yx}
Bah là j'imagine qu'il faut montrer que Z=G....
Snif


5)Soient a,n appartenant à Z, avec (a,n)=1, montrer qu'on a a^(phi(n)) est congru à 1 modulo n
Bah ça c'est le théorème d'Euler. On peut sans doute le démontrer en montraznt que phi(n)+1 est premier avec a et en utilisant Fermat mais je pense qu'ils veulent une démonstration complète !


6)Déterminer les entiers n pour lesquels (Z/nZ)* est cylique.

Pas d'idée...




Voilà c'est tout pour aujourd'hui. Comme vous le voyez, je ne sais pas faire grand chose
C'est mon grand problème en algèbre, je comprends bien les corrections mais je sais jamais partir tout seul...
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[inviteae1ed006]

Bonjour,
1)
Si G est cyclique alors il existe t.q. . Soit H un sous groupe de G (si H={1} il n'y a rien à faire) et posons n le plus petit entier >0 t.q. , puisque H est un groupe, on a immédiatement . Soit alors il existe un entier positif m t.q. . On a m=q.n+r (division euclidienne de m par n avec r<n) donc qui est un group donc ce qui impose r=0 par définition de n et donc . Conclusion : est cyclique.

[inviteae1ed006]

1) Suite
G un groupe cyclique et H un sous groupe. D'après ce qui précède on a : .
Si alors G=H et G/H={1}
Sinon on a toujours et donc et tout élément de G/H peut être représenté (p un entier positif) or comme G est abélien (car cyclique) on a et donc l'inclusion réciproque : d'où l'égalité et G/H est cyclique.

[invited5b2473a]

4)G/Z={1,g,..,g^(d-1)} avec n = |Z|*d.
x,y dans G s'écrivent x = g^i * hi et y = g^j * hj avec hi et hj dans Z. Alors, il est clair que xy=yx.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae1ed006]

n = |Z|*d.

je ne comprends pas ce que cela veut dire...

3)
Premièrement : Non contre-exemple : Le groupe des quaternions n'est ni cyclique ni abélien mais ses sous groupes propres le sont : <-1>; <i>; <j>; <k>.
Deuxièmement : toujours non, contre-exemple : (avec p un nombre premier) n'est pas cyclique mais ses sous groupes propres le sont puisqu'ils sont d'ordre p.

[invite35452583]

1) autre version
On a un morphisme surjectif f: Z->>G qui à m associe g^m pour g un générateur de G. Le noyau est nZ.
Un sous-groupe H de G a une image réciproque pour f qui est un sous-groupe de Z qui est de la forme qZ, H=f(qZ) est mono-engendré (par f(q)) donc est cyclique.
Soit g:G->>K une application quotient, on a gof : Z->K qui est surjectif donc K est monoengendré donc cyclique.
2) Soit H un sous-groupe d'ordre d, son image réciproque par f est un sous groupe de Z donc de la forme eZ, H est l'image de la composée de g : Z->Z m'->em' et de f. Le noyau est dZ car H est d'ordre d. Mais le noyau est aussi égal à donc d=+/-(n/e) et e=+/-(n/d), donc eZ=(n/d)Z et H=f((n/d)Z) donc est unique.
Soit G/H un quotient d'ordre d, on a h : G->>G/H l'application quotient, hof : Z->>G/H morphisme surjectif de noyau dZ car G/H est d'ordre d. d'où et donc l'unicité de H.
D'autre part, tu as déjà vu que ces deux sous-groupes sont satisfaisants.

3) J'aime bien les exemples
en non abéliens Q_8, c'est vu, en abélien (Z/pZ)² c'est vu (je viens de voir que j'ai été grillé par tize)
Soit p un nombre premier, Aut(Z/pZ) est cyclique d'ordre p-1, soit q un diviseur de p-1, on a une unique injection de Cq=(Z/qZ) dans Aut(Z/pZ), on peut alors effecteur le produit semi-direct de Cp par Cq, les conjugués de Cq par Cp ne peuvent s'intersecter qu par {e}, il y en a p car aucun élément de Cp ne commute avec un élément d'ordre q (sinon ce groupe serait abélien), les Cq contiennent donc p(q-1)=pq-1 éléments + les p éléments de Cp cela fait pq éléments, on les a donc tous. Un tel groupe est d'ordre pq, les sous-groupes sont donc d'ordre 1,p,q ou pq, un sous-groupe propre est donc d'ordre p ou q premiers tous deux donc cycliques. Par contre le groupe est trivialement non cycliques.
Ca doit être à peu près les seuls contre-exemples.

4) x image réciproque pour l'application quotient G->>G/Z d'un générateur de G/Z. On a G=<Z,x>. Pour être dans le centre il suffit de commuter avec un ensemble de générateurs ici les éléments de Z (la commutation est triviale, et avec x (tout élément commute avec lui-même) donc x est dans Z et G=Z et donc abélien.

[invite35452583]

4) suite
Si on a le droit à "le centre d'un p-groupe est non trivial" alors c'est trivial sinon cf exercice de Doriphore dans "concours et examens".

5) a est élément de (Z/pZ)* qui est de cardinal phi(n) par définition, on applique le théorème de Lagrange et c'est fini.

6) ça se durcit
Etapes (je vais laisser un peu de boulot quand même) :
a) regarder (Z/2Z)*, (Z/4Z)*, (Z/8Z)*, (Z/16Z)* regarder plus particulièrement les éléments d'ordre 2 (les plus faciles à trouver une formule générale) pour conclure pour les (Z/2^nZ)
b) (Z/pZ)* est-il cyclique ?
pas évident mais oui : utiliser le fait que (Z/pZ,+,x) est un corps commutatif, limiter le nombre d'éléments d'ordres strictement inférieurs à p-1=phi(p) en considérant les polynômes X^n-1, comparer ces nombres à celui 'un cyclique d'ordre n-1 puis conclure qu'il existe au moins unélément d'ordre p-1.
b)' (Z/p^nZ)* est-il cyclique ? p impair
phi(p^n)=(p-1)p^(n-1). p-1 et p^(n-1) sont premiers entre eux.
Trouver un élément d'ordre p-1 (ne pas chercher midi à 14h)
Trouver un élément d'ordre p^(n-1) (je regarderais bien 1+p )
Conclure
c) cas général : , les pi étant premiers.
i) Montrer que est isomorphe en tant qu'anneau à
ii) Montrer que cet isomorphisme passe aux inversibles, càd sa restriction aux inversibles est un isomorphisme de groupes.
iii) Conclure

[invitec053041c]

Heureusement que le caractère n'est pas facturé homotopie, tu m'impressionnes . (je crois que les smsistes sont malheureusement encore persuadés que le coût d'un caractère est exhorbitant ).

[invite35452583]

Heureusement que le caractère n'est pas facturé homotopie, tu m'impressionnes . (je crois que les smsistes sont malheureusement encore persuadés que le coût d'un caractère est exhorbitant ).

Heureusement en effet sinon je suis ruiné.

3) ...
Ca doit être à peu près les seuls contre-exemples.

C'est en effet presque les seuls, il y a également les produits semi-directs par où la restriction de la conjugaison interne à surjecte ce dernier dans l'unique p-cycle de
Il faut un peu d'artillerie pour le montrer (notamment une partie du 6 mais pas seulement).
Quelqu'un veut une preuve ?