Cardinal d'un ensemble

[invite533b878d]

Bonjour,

Pourriez-vous m'expliquer ce qu'est le cardinal d'un ensemble ?

Merci d'avance.

Cordialement,
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[erik]

Bonjour,
Pour les ensembles qui contiennent un nombre fini d'éléments, le cardinal de l'ensemble est simplement le nombres d'élément qui appartiennent à cet ensemble.

Pour les ensembles qui contiennent un nombre infini d'éléments on distingue :
* les ensembles dénombrables (le nombre d'élément peut être numéroté, ou dit autrement il existe une bijection entre IN et les éléments de l'ensemble)
* les ensembles indénombrables (tel que IR)

[matthias]

Et de manière générale, on dit que deux ensembles ont même cardinal quand il existe une bijection entre les deux. Même pour un ensemble infini il existe toujours un ensemble dont le cardinal est supérieur, autrement dit il y a des infinis plus grands que d'autres.

[invite533b878d]

Euhhh, qu'est-ce qu'une bijection ?? Et quels sont les opérations que l'on peut effectuer sur les cardinaux ? Y-a-t-il des formules d'utilisation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc60305c]

C'est du programme de 1er.

Une bijection est une application faisant correspondre à un point une et une seule image.

Les cardinaux sont des nombres, plus précisement le nombre d'éléments dans un ensemble.

[matthias]

Une bijection est une application faisant correspondre à un point une et une seule image.

Non ça c'est une application toute bête. Par contre une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée admet un et un seul antécédent est une bijection.

C'est du programme de 1er.

Sérieux ? C'est du programme de 1ère maintenant ?
J'ai fait ça en 4ème, je ne suis pas si vieux pourtant (enfin on dit tous ça ) ...

[invite533b878d]

Ah ok c'est tout simple en fait, je connais, mais je n'ai jamais employé ce terme.

P.S. Je suis en première et je puis vous certifier que je n'ai jamais employé ce terme...

[invitefc60305c]

Oui ok ça c'est la vraie phrase
"application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée admet un et un seul antécédent"

Dans mon esprit c'est clair.

Quand je serai grand j'dirai "oh mais j'ai fait ça en 1er..."

[lolouki]

Juste pour rectifier les choses, c'est du programme de 1ere annee de fac

[Gwyddon]

Euhhh, qu'est-ce qu'une bijection ?? Et quels sont les opérations que l'on peut effectuer sur les cardinaux ? Y-a-t-il des formules d'utilisation ?

C'est assez complexe, mais riche

Tout d'abord, comme le dit matthias, il n'y a pas qu'un seul type d'infini, mais plusieurs.

Si on commence d'abord par les entiers naturels, on se rend compte qu'il est infini. Si on prend les entiers relatifs maintenant, c'est aussi un ensemble infini, mais qui a "autant d'éléments" que IN (les entiers naturels), autrement dit on peut construire une bijection entre IN et Z (les entiers relatifs). Pour cela, on fait, par exemple, un petit dessin en 2D avec O,1,2 ... sur l'axe des abcisses, et 0, -1, -2, .... sur l'axe des ordonnées (on commence en bas à gauche sur le dessin, et on va vers le haut et vers la droite). En parcourant en triangle (0,1,-1,2,-2,3,-3,etc...) on fait correspondre à chaque entier relatif un entier naturel. On peut reprendre le même raisonnement pour les couples d'entiers (a,b) en récupérant au passage les couples qui ne sont pas sur les axes abcisses et ordonnées.

En clair, on dit que le cardinal de IN est le même que le cardinal de Z, et que le cardinal de . On l'appelle , et c'est un nombre qu'on dit transfini.

Il vérifie un tas de propriétés bizarres, par exemple on a
Ceci est dû au fait qu'ajouter un élément dans un ensemble fini donne un nouvel ensemble en bijection avec l'ancien


Mais il existe d'autres types d'infinis, en fait une infinité d'autres !

Un théorème, dit de Cantor, te permet d'affirmer cela. En effet, si tu introduit un ensemble infini E, et que tu appelles P(E) l'ensemble des parties de E (c'est-à-dire un ensemble dont les éléments sont des sous-ensembles de E, en particulier P(E) contient E et l'ensemble vide, pour fixer les idées), il se trouve qu'il n'existe pas de bijection de E vers P(E), autrement dit ces deux ensembles ne sont pas de même cardinal transfini. On montre que E peut s'injecter dans P(E) (définition : une injection d'un ensemble E dans F est une fonction telle que si un élément de F est image d'un élément de E, il n'a qu'un unique antécédent, mais il peut exister des éléments de F sans antécédent), et donc on dit que P(E) est "plus grand" que E, autrement dit son cardinal est supérieur.

Ainsi, le cardinal de P(IN) est supérieur au cardinal de IN, de même le cardinal de P(P(IN)) est plus grand que celui de P(IN) et aussi que celui de IN par transitivité, etc...


Tu connais par exemple un autre ensemble "plus grand" que IN, c'est celui des réels. Il n'existe pas, en effet, de bijection entre IN et IR.

Il y a plein d'autres choses à raconter, mais c'est long
Si le sujet t'intéresse, n'hésite pas à nous poser des questions, et je te recommande la lecture des écrits de Cantor, c'est très instructif

Julien

[Gwyddon]

Juste pour rectifier les choses, c'est du programme de 1ere annee de fac

C'est une blague j'espère ? Comme le dit matthias, à notre époque le concept de bijection était enseigné au collège, et il me semble qu'il fut un temps où il existait un théorème dit de la bijection en 1ère...

[lolouki]

Bah ecoutez non dsl mais je suis en premiere annee de fac .. et je l'ai vu simplement cette annee. Bon c'est vrai qu'en terminale mon prof nous avait dit que ln et expo étaient en bijection mais il nous a rien expliqué ...

Bon et puis finalement j'avoue que ca pourrait etre enseigné bien avant ... mais l'utilisation de quantificateurs (par exemple) est TRES rare en terminal.

[invite533b878d]

Pour être en première S, et pour être un élève, sans chercher à me vanter, très attentif au cours, je peux vous assurer que ce concept de bijection tel que l'expose 09jul85 n'a jamais été abordé dans toute ma scolarité. Mais il est vrai que les programmes ont été revus à la baisse depuis plusieurs années, malgré les démentis du Ministère. Je ne suis par conséquent pas étonné du fait que aie pu être, il y a quelques années, enseigné au collège.

Cependant, je ne puis m'empêcher de constater que cela paraît très interressant.

Cordialement,

[invitecc04f455]

on dit que R a la puissance du continue que l'on note c , c'est un ensemble indénombrable de meme que C et H

la bijection , injection et surjection ne sont plus au programme depuis longtemps cependant il est important de l'étudier en 1re S après ça dépend de la compétence du proff

[matthias]

Au fait voici un fil que j'avais oublié où on parle de fonctions, d'applications, de bijections :
http://forums.futura-sciences.com/sh...ant%E9c%E9dent

[Gwyddon]

Il vérifie un tas de propriétés bizarres, par exemple on a
Ceci est dû au fait qu'ajouter un élément dans un ensemble infini donne un nouvel ensemble en bijection avec l'ancien

Oups pardon, grave faute quand même