Définition rigoureuse d'un ensemble

[inviteeac53e14]

Bonsoir,
Je souhaiterai savoir s'il existe une définition rigoureuse de ce qu'est un ensemble parce que c'est quand même une notion que l'on utilise assez souvent.

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invité576543]

Bonsoir,
Je souhaiterai savoir s'il existe une définition rigoureuse de ce qu'est un ensemble parce que c'est quand même une notion que l'on utilise assez souvent.

Merci d'avance pour vos réponses.

Bonsoir,

Cherches déjà paradoxe de Russell sur la toile... Ca te donneras une première idée de la complexité de la question que tu poses...

Cordialement,

[invited5b2473a]

Il n'y a pas de définition précise de "ensemble " autement que collection d'objets que l'on sait différencier, comme les lettres de l'alphabet, une classe dans une école.

[invitec9d83f1c]

Il n'existe pas de definition rigoureuse de la notion d'ensemble, par contre leur manipulation est régie par des regles strictes et bien formé, cherches "axiomes de zermelo fraenkel" qui sont actuellements a la base de la théorie des ensembles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Il n'existe pas de definition rigoureuse de la notion d'ensemble, par contre leur manipulation est régie par des regles strictes et bien formé, cherches "axiomes de zermelo fraenkel" qui sont actuellements a la base de la théorie des ensembles.

L'axiome du choix pose quelques problèmes dans l'établissement des axiomes de la théorie: cet axiome est indépendant des autres et on peut trouver des résultats extrêmement différents suivant qu'on admette cet axiome ou pas ou même une version plus faible!!

[invite4793db90]

Salut,

visite la bibliothèque!

En particulier les docs suivants:


[L3] - [PDF] Axiomatisation des ensembles, par P. Dehornoy. (20 pages)

[L3] - [PDF] Le système de Zermelo-Fraenkel , par P. Dehornoy. (24 pages)

Cordialement.

[invitee65b1c3d]

Bonsoir,
Je souhaiterai savoir s'il existe une définition rigoureuse de ce qu'est un ensemble parce que c'est quand même une notion que l'on utilise assez souvent.

Merci d'avance pour vos réponses.

Il n'y a pas de véritable définition d'ensemble : Dans la théorie Zermelo Fraenkel, on supoose qu'on dispose déjà à la base des ensembles et qu'ils vérifient certaines propriétés.

Pour ce qui est de la théorie des ensembles, je te conseille de jeter un coup d'oeil à ce livre : Théorie des ensembles de Krivine


Il est certainement disponible dans la bibliothèque universitaire la plus proche et est très bien fait (attention toutefois, il vaut mieux consulter une édition récente : le livre a été considérablement amélioré au cours des différentes rééditions)

[invite4793db90]

Salut,

Il n'y a pas de véritable définition d'ensemble : Dans la théorie Zermelo Fraenkel, on supoose qu'on dispose déjà à la base des ensembles et qu'ils vérifient certaines propriétés.

Tu as lu le second lien que j'ai donné et la définition récursive des ensembles purs?

Mais tu es peut-être sur une perspective historique? Je vais chercher mon Dieudonné.

[invitee65b1c3d]

Salut,

Tu as lu le second lien que j'ai donné et la définition récursive des ensembles purs?

Mais tu es peut-être sur une perspective historique? Je vais chercher mon Dieudonné.

Je ne l'avais pas lu, et je dois dire que je suis un peu déçu par le contenu.

Plusieurs choses me font tilter :

• L'utilisation du terme "récursivement", qui normalement signifie "calculable" (ce qui n'est absolument pas le cas ici, presque rien n'est décidable)
• Le fait que la définition admette implicitement l'axiome de fondation : ce n'est pas un axiome fondamentalement utile, et il n'est pas conséquence de ZF.
  Dans certains, cas, pour des raisons techniques il peut être préférable d'utiliser la négation de l'axiome de fondation (par exemple, avec l'axiome de fondation on ne peut pas avoir de a tel que a = {a})
• La définition "d'ensemble pur" est très informelle. Il s'agit apparemment d'un modèle de Herbrand de Z fini, donc en fait d'un modèle dénombrable de Zfini

D'autres points me gène :

La d´efinition (3.1.1) des ensembles Vα correspond bien au principe d’ensembles construits à partir de l’ensemble vide à l’aide d’opérations ensemblistes. Ensuite, déclarer purs tous les éléments de tels ensembles répond à l’option de définir le cadre le plus large possible : dès que α est un ordinal transfini, l’ensemble Vα est infini, et son ensemble des parties, qui est non dénombrable, contient davantage d’ensembles qu’il n’existe de phrases pour les spécifier.

Cette remarque contredit le paradoxe de Loweiheim-Skolem qui dit :
Si ZF admet un modèle, alors ZF admet un modèle dénombrable. Autrement dit : il n'existe pas forcément plus d'ensemble que de phrases pour les spécifier.
Cela vient du fait qu'il ne faut pas confondre "non dénombrable" dans le modèle de ZF et à l'extérieur du modèle (dans le "métalangage"). Ainsi, il peut très bien exister une bijection entre N et R, seulement, le fait que R soit non-dénombrable impose que cette bijection ne soit représenté par aucun ensemble de notre modèle.

Autrement dit, il existe des ensembles purs qui ne sont spécifiables par aucune opération, ensembliste ou autre.

En fait, le théorème de Herbrand nous assure qu'au contraire il existe un certain nombre (au plusdénombrable) d'opération ensemblistes permettant d'engendrer tous les ensembles de certains modèle de ZF (les modèles de Herbrand, ou les quotients des modèles de Herbrand par la relation d'égalité)

En gros, je pense que l'auteur a trop (ou pas assez) voulu vulgariser ZF. Au final, on arrive a un mélange de vulgarisation et de théorèmes de ZF qui prête à mon avis à confusion.

[invitec9d83f1c]

Tien CB est ce que tu as une bonne référence en ce qui concerne la théorie de modéles? et tan qu' faire ce peut quelqu'un connait-il la différence entre un ensemble et une catégorie? (a ce que j'en ais compri j'ai l'impresion qu'une categorie n'est pas manipulable dans sa totalité...)

[invitee65b1c3d]

Pour la théorie des modèles, il y a le livre de David marker
Model theory : An introduction (mais il faut télécharger l'errata qui est quelquepart sur internet).

[invite4793db90]

Salut C.B.,

perso je m'étais contenté de l'exposition donnée plus haut, mais bon je t'avouerai volontiers que je n'ai pas les connaissances pour te suivre!

Merci en tout cas d'avoir ouvert des brèches à explorer.

Cordialement.