[Exercice] PGCD
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[Exercice] PGCD



  1. #1
    invite18c9da69

    [Exercice] PGCD


    ------

    Bonjour,
    Je suis bloqué à une question d'un exercice de terminale sur les PGCD. Voici le question : x et y entiers naturels non nuls tel que x<y
    S est l'ensemble des couples (x,y) tels que PGCD(x,y) = y-x
    Montrer que (x;y) appartient a S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que : x = k(y-x) et y =(k+1)(y-x)
    J'ai essayé déja de prouver une implication avant même l'équivalence mais je n'ai pas réussi.

    Si quelqu'un pouvait guider un peu mes recherches?
    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    invitec314d025

    Re : [Exercice] PGCD

    Dis nous d'abord ce que tu as fait, parce qu'il y a au moins une implication très simple, et si tu as essayé, tu n'as pas du passer loin.

  3. #3
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Pour l'instant je suis rendu à PGCD (kx, ky) = k (y-x)

  4. #4
    invitec314d025

    Re : [Exercice] PGCD

    Pour k positif oui, sinon il faut mettre une valeur absolue.
    Mais quelle implication es-tu en train d'essayer de démontrer avec ça ? Parce qu'il y en a une que l'on démontre facilement de cette manière en effet.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    k est entier naturel non nul donc positif, c'est pour ca que je n'ai pas mis de valeur absolu.
    J'essaye de démontrer que si d=PGCD (x,y) et si d=y-x, alors il existe k entier naturel non nul tel que x= k(y-x)

  7. #6
    invitec314d025

    Re : [Exercice] PGCD

    C'est un peu ce que je pensais. Mais c'est plutôt pour l'autre implication que ceci est utile en fait.
    Pour celle que tu es en train de chercher, il faut penser simple. La propriété principale du pgcd de deux nombres est de diviser chacun des deux nombres en question. Tu en tires deux égalités que tu peux facilement exploiter pour arriver au résultat.

  8. #7
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    D'accord je vais essayer ca tout de suite et je te dirais si j'aboutis, merci de m'avoir répondu!

  9. #8
    Evil.Saien

    Re : [Exercice] PGCD

    Salut,

    Pour plus de clarete, essayons de demontrer dans un premier temps:

    (x, y) E S => x = k(y-x) et y=(k+1)(y-x)

    Tu sais que PGCD(x, y) = (x-y)

    Donc, comment fais-tu pour exprimer x et y en fonction de (x-y) ?
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  10. #9
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Je viens de trouver l'implication x = k (y-x) et mon problème pour y = (k+1) (y-x) c'est le +1.

  11. #10
    Evil.Saien

    Re : [Exercice] PGCD

    Regarde tous les quotients et vois ce que ca te donne...
    Faut pas hesiter a ecrire meme les trucs qui te paraissent evidents
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  12. #11
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Pour exprimer x et y en fonction de x et y je dis que PGCD (x, y ) divise x donc x = k(y-x) et de meme pour y = k' (y-x)

  13. #12
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Oui c'est bon j'ai k' = k+1

    DOnc maintenant il me reste à faire la réciproque.

  14. #13
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Pour la réciproque, est-ce que c'est bon si je dis :
    x= k (y-x) et y = (k+1) (y-x) implique PCGD (x,y) = PGCD(k, k+1) =1 car a la question précédente j'ai prouver que PGCD (n,n+1)=1

  15. #14
    invitec314d025

    Re : [Exercice] PGCD

    Citation Envoyé par ccslt
    PCGD (x,y) = PGCD(k, k+1) =1
    Tu veux dire PGCD(x;y) = (y-x).PGCD(k;k+1) j'imagine.
    Et donc oui, c'est bien ce qu'il faut faire.

  16. #15
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Non en fait j'ai l'impression de ne pas avoir compris pour la réciproque

  17. #16
    Evil.Saien

    Re : [Exercice] PGCD

    Une propriete de PGCD est:
    PGCD(ax, ay) = |a|PGCD(x, y)
    Mon psychiatre, pour quinze mille francs, il m'a débarrassé de ce que j'avais : quinze mille francs

  18. #17
    invitec314d025

    Re : [Exercice] PGCD

    C'est ce que j'avais cru lire ici:
    Citation Envoyé par ccslt
    Pour l'instant je suis rendu à PGCD (kx, ky) = k (y-x)
    Mais j'avais lu un peu vite

    Donc je pensais que tu avais déjà pensé à la propriété que vient d'énoncer Evil.Saien.

  19. #18
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Ba c'est la même que celle que tu a lu puisque PGCD(x,y)=y-x

    Mais pour la réciproque je ne vois vraiment pas comment faire.

  20. #19
    invitec314d025

    Re : [Exercice] PGCD

    Relis les messages #13, #14 et #16, il y a tout ce qu'il faut pour la réciproque.

  21. #20
    invite52c52005

    Re : [Exercice] PGCD

    Bonjour,

    pour la réciproque (on est bien d'accord, tu veux montrer ), comme il t'avait été suggéré, exprime d'abord que y-x est un diviseur à la fois de x et de y et qu'en plus c'est leur plus grand.

    EDIT : Et c'est vrai que, comme t'a précisé Matthias, tu as déjà tous les éléments.

  22. #21
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Oui ej veux bien montrer cela, mais je n'arrive pas pour la réciproque, j'arrive a PGCD(k,k+1)= (y-x) PGCD (x,y)

  23. #22
    invite52c52005

    Re : [Exercice] PGCD

    Essaye plutôt d'exprimer mathématiquement ce que je t'ai indiqué dans mon post précédent

  24. #23
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Et PGCD(k,k+1) = 1

  25. #24
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    J'ai montrer que c'était leur diviseur, mais comment montrer que c'est le plus grand?

  26. #25
    invitec314d025

    Re : [Exercice] PGCD

    Citation Envoyé par ccslt
    Oui ej veux bien montrer cela, mais je n'arrive pas pour la réciproque, j'arrive a PGCD(k,k+1)= (y-x) PGCD (x,y)
    Non !
    Tu dois arriver à PGCD(x;y) = (y-x).PGCD(k;k+1) !!!
    Avec l'hypothèse x = k(y-x) et y = (k+1)(y-x), c'est une conséquence immédiate de la propriété citée par Evil.Saien !

  27. #26
    invite52c52005

    Re : [Exercice] PGCD

    Ecris comment tu exprimes que c'est leur diviseur, ce sera plus clair.

  28. #27
    invite18c9da69

    Re : [Exercice] PGCD

    Citation Envoyé par matthias
    Non !
    Tu dois arriver à PGCD(x;y) = (y-x).PGCD(k;k+1) !!!
    Avec l'hypothèse x = k(y-x) et y = (k+1)(y-x), c'est une conséquence immédiate de la propriété citée par Evil.Saien !
    Ok j'avais inversé la propriété, ba alors c'est bon puisque PGCD(k;k+1)=1, j'arrive donc a PGCD(x;y) = (y-x) soit (x,y) appartient a S. C'est bien ca?

  29. #28
    invitec314d025

    Re : [Exercice] PGCD

    Une autre erreur de fil nissart ?

  30. #29
    invitec314d025

    Re : [Exercice] PGCD

    Citation Envoyé par ccslt
    Ok j'avais inversé la propriété, ba alors c'est bon puisque PGCD(k;k+1)=1, j'arrive donc a PGCD(x;y) = (y-x) soit (x,y) appartient a S. C'est bien ca?
    Oui, c'est ça.

  31. #30
    invite52c52005

    Re : [Exercice] PGCD

    Citation Envoyé par matthias
    Une autre erreur de fil nissart ?
    Oui, je me suis emmelé les pinceaux. Désolé.

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