Bonjour,
Je suis bloqué à une question d'un exercice de terminale sur les PGCD. Voici le question : x et y entiers naturels non nuls tel que x<y
S est l'ensemble des couples (x,y) tels que PGCD(x,y) = y-x
Montrer que (x;y) appartient a S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que : x = k(y-x) et y =(k+1)(y-x)
J'ai essayé déja de prouver une implication avant même l'équivalence mais je n'ai pas réussi.
Si quelqu'un pouvait guider un peu mes recherches?
Merci d'avance.
Dis nous d'abord ce que tu as fait, parce qu'il y a au moins une implication très simple, et si tu as essayé, tu n'as pas du passer loin.
Pour l'instant je suis rendu à PGCD (kx, ky) = k (y-x)
Pour k positif oui, sinon il faut mettre une valeur absolue.
Mais quelle implication es-tu en train d'essayer de démontrer avec ça ? Parce qu'il y en a une que l'on démontre facilement de cette manière en effet.
k est entier naturel non nul donc positif, c'est pour ca que je n'ai pas mis de valeur absolu.
J'essaye de démontrer que si d=PGCD (x,y) et si d=y-x, alors il existe k entier naturel non nul tel que x= k(y-x)
C'est un peu ce que je pensais. Mais c'est plutôt pour l'autre implication que ceci est utile en fait.
Pour celle que tu es en train de chercher, il faut penser simple. La propriété principale du pgcd de deux nombres est de diviser chacun des deux nombres en question. Tu en tires deux égalités que tu peux facilement exploiter pour arriver au résultat.
D'accord je vais essayer ca tout de suite et je te dirais si j'aboutis, merci de m'avoir répondu!
Salut,
Pour plus de clarete, essayons de demontrer dans un premier temps:
(x, y) E S => x = k(y-x) et y=(k+1)(y-x)
Tu sais que PGCD(x, y) = (x-y)
Donc, comment fais-tu pour exprimer x et y en fonction de (x-y) ?
Je viens de trouver l'implication x = k (y-x) et mon problème pour y = (k+1) (y-x) c'est le +1.
Regarde tous les quotients et vois ce que ca te donne...
Faut pas hesiter a ecrire meme les trucs qui te paraissent evidents
Pour exprimer x et y en fonction de x et y je dis que PGCD (x, y ) divise x donc x = k(y-x) et de meme pour y = k' (y-x)
Oui c'est bon j'ai k' = k+1
DOnc maintenant il me reste à faire la réciproque.
Pour la réciproque, est-ce que c'est bon si je dis :
x= k (y-x) et y = (k+1) (y-x) implique PCGD (x,y) = PGCD(k, k+1) =1 car a la question précédente j'ai prouver que PGCD (n,n+1)=1
Tu veux dire PGCD(x;y) = (y-x).PGCD(k;k+1) j'imagine.Envoyé par ccslt
Et donc oui, c'est bien ce qu'il faut faire.
Non en fait j'ai l'impression de ne pas avoir compris pour la réciproque
Une propriete de PGCD est:
PGCD(ax, ay) = |a|PGCD(x, y)
C'est ce que j'avais cru lire ici:
Mais j'avais lu un peu vite
Donc je pensais que tu avais déjà pensé à la propriété que vient d'énoncer Evil.Saien.
Ba c'est la même que celle que tu a lu puisque PGCD(x,y)=y-x
Mais pour la réciproque je ne vois vraiment pas comment faire.
Relis les messages #13, #14 et #16, il y a tout ce qu'il faut pour la réciproque.
Bonjour,
pour la réciproque (on est bien d'accord, tu veux montrer), comme il t'avait été suggéré, exprime d'abord que y-x est un diviseur à la fois de x et de y et qu'en plus c'est leur plus grand.
EDIT : Et c'est vrai que, comme t'a précisé Matthias, tu as déjà tous les éléments.
Oui ej veux bien montrer cela, mais je n'arrive pas pour la réciproque, j'arrive a PGCD(k,k+1)= (y-x) PGCD (x,y)
Essaye plutôt d'exprimer mathématiquement ce que je t'ai indiqué dans mon post précédent
Et PGCD(k,k+1) = 1
J'ai montrer que c'était leur diviseur, mais comment montrer que c'est le plus grand?
Non !
Tu dois arriver à PGCD(x;y) = (y-x).PGCD(k;k+1) !!!
Avec l'hypothèse x = k(y-x) et y = (k+1)(y-x), c'est une conséquence immédiate de la propriété citée par Evil.Saien !
Ecris comment tu exprimes que c'est leur diviseur, ce sera plus clair.
Ok j'avais inversé la propriété, ba alors c'est bon puisque PGCD(k;k+1)=1, j'arrive donc a PGCD(x;y) = (y-x) soit (x,y) appartient a S. C'est bien ca?
Une autre erreur de fil nissart ?
Oui, c'est ça.
Oui, je me suis emmelé les pinceaux. Désolé.Une autre erreur de fil nissart ?
