Pgcd
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Pgcd



  1. #1
    invite43bf475e

    Talking Pgcd


    ------

    Bonsoir @ tous,

    Alors voilà j'aimerais savoir par quelle méthode on peut déterminer le pgcd de
    n^3 + n et de 2n+1... Par combinaison linéaire? (pgcd(a,b)=pgcd(a-bk,b)?)

    On peut aussi conjecturer que si n est pair pgcd=1 et lorqu'il est impair pgcd=5...
    Menfin je n'arrive pas à faire mieux! Un indice?!

    -----

  2. #2
    invite43bf475e

    Re : Pgcd

    c'est l'inverse, pgcd=5 si n pair, et l'inverse sinon

  3. #3
    invitec053041c

    Re : Pgcd

    Salut !

    En général pour ce genre d'exos, la technique est en effet la combinaison linéaire.
    Le mieux est d'arriver rapidement à d divise a (fixé)...
    Ce qui n'est pas toujours le cas ou facile .
    Je regarde ce que ça donne ici.

    EDIT: la conjecture pour n pair tombe dès n=4 .

  4. #4
    invitec053041c

    Re : Pgcd

    En revanche une bonne conjecture (d'après un tracé de suite sur ma TI ) est :

    pgcd=5 si n=2[5]
    =1 sinon

    Encore faut-il le montrer !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitec053041c

    Re : Pgcd

    Bon , on peut dores et déjà montrer que d divise une constante, que tu vas trouver par toi-même . (et la moitié du travail sera déjà faite...)

    Je te donne le début d'une démarche, je te laisse faire le reste :

    d|n^3+n
    d|2n+1

    Donc comme tu l'as dit,il divise toute combinaison linéaire.
    Le but étant de faire baisser le degré des puissances, on veut d'abord éliminer le terme en n^3:

    d divise: 2(n^3+n)-n²(2n+1)=-n²+2n

    Donc d divise à la fois -n²+2n et 2n+1, ce qui va te permettre alors d'éliminer le degré 2 par la même méthode etc...jusqu'à arriver à d divise une constante (nombre premier en plus, chic ).

  7. #6
    invite43bf475e

    Re : Pgcd

    nikel!!!! je n'avais pas penser a faire des combianaisons linéaires avec n!

    Cimerrrrrrrrr!!!

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