Pgcd

[invite43bf475e]

Bonsoir @ tous,

Alors voilà j'aimerais savoir par quelle méthode on peut déterminer le pgcd de
n^3 + n et de 2n+1... Par combinaison linéaire? (pgcd(a,b)=pgcd(a-bk,b)?)

On peut aussi conjecturer que si n est pair pgcd=1 et lorqu'il est impair pgcd=5...
Menfin je n'arrive pas à faire mieux! Un indice?!
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[invite43bf475e]

c'est l'inverse, pgcd=5 si n pair, et l'inverse sinon

[invitec053041c]

Salut !

En général pour ce genre d'exos, la technique est en effet la combinaison linéaire.
Le mieux est d'arriver rapidement à d divise a (fixé)...
Ce qui n'est pas toujours le cas ou facile .
Je regarde ce que ça donne ici.

EDIT: la conjecture pour n pair tombe dès n=4 .

[invitec053041c]

En revanche une bonne conjecture (d'après un tracé de suite sur ma TI ) est :

pgcd=5 si n=2[5]
=1 sinon

Encore faut-il le montrer !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bon , on peut dores et déjà montrer que d divise une constante, que tu vas trouver par toi-même . (et la moitié du travail sera déjà faite...)

Je te donne le début d'une démarche, je te laisse faire le reste :

d|n^3+n
d|2n+1

Donc comme tu l'as dit,il divise toute combinaison linéaire.
Le but étant de faire baisser le degré des puissances, on veut d'abord éliminer le terme en n^3:

d divise: 2(n^3+n)-n²(2n+1)=-n²+2n

Donc d divise à la fois -n²+2n et 2n+1, ce qui va te permettre alors d'éliminer le degré 2 par la même méthode etc...jusqu'à arriver à d divise une constante (nombre premier en plus, chic ).

[invite43bf475e]

nikel!!!! je n'avais pas penser a faire des combianaisons linéaires avec n!

Cimerrrrrrrrr!!!