Propriétés d'un ensemble

[tatoute]

J'ai appris (il y a longtemps) que R est le plus grand corps totalement ordonné. Je me souviens bien que ca m'avait frappé (pour la simplicité de la définition et pour sa puissance).

Aujourd'hui je navigue dans des eaux troubles, je fais de l'informatique (je sais c'est pas bien ). J'ai à ma disposition un truc qu'on appelle nombre flottants, disons l'ensemble F. Dans cet ensemble on a les opérations des réels (+,*,>) ainsi que leurs inverses (-,/), mais elles ne forment pas un corps: il manque en fait l'associativité de l'addition.

(a+b)+c # a+(b+c)

exemple
(1+ -1) + epsilon = epsilon
1 + (-1 + epsilon) = 0

on a les propriétés suivantes:
commutativité pour + et *
a+ -a = 0
a/a=1
distributivité
a-b>0 = a>b
compatibilité entre l'ordre et les opérations.

comment aborder un tel ensemble? Comment y calculer efficacement?

Michel.
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[invitee65b1c3d]

J'ai appris (il y a longtemps) que R est le plus grand corps totalement ordonné. Je me souviens bien que ca m'avait frappé (pour la simplicité de la définition et pour sa puissance).

En fait, c'est faux : il existe des corps totalements ordonnées qui contiennent strictement R. Par exemple le corps *R de Robinson (qui est une extension de R dans laquelle on peut définir la notion d'infiniment petits).

Il est même possible de montrer qu'il existe des sur-corps de R de taille arbitrairement grande.

Aujourd'hui je navigue dans des eaux troubles, je fais de l'informatique (je sais c'est pas bien ). J'ai à ma disposition un truc qu'on appelle nombre flottants, disons l'ensemble F. Dans cet ensemble on a les opérations des réels (+,*,>) ainsi que leurs inverses (-,/), mais elles ne forment pas un corps: il manque en fait l'associativité de l'addition.

(a+b)+c # a+(b+c)

exemple
(1+ -1) + epsilon = epsilon
1 + (-1 + epsilon) = 0

on a les propriétés suivantes:
commutativité pour + et *
a+ -a = 0
a/a=1
distributivité
a-b>0 = a>b
compatibilité entre l'ordre et les opérations.

comment aborder un tel ensemble? Comment y calculer efficacement?

Michel.

Je crais qu'on ne puisse pas calculer exactement dans R en informatique. Il existe bien des méthodes de calculs formel, mais généralement, l'ensemble des égalités que l'on peut obtenir est indécidable (récursivement énumérable seulement).

De plus, si on prend le cas particulier du calcul d'un équilibre Arrow Debreu, on se rend compte avec horreur que le calcul se fait en temps polynomial dans le système BSS mais qu'il est impossible de calculer cet équilibre en disposant d'une précision finie (aussi grande que l'on veut).

C'est à dire que si pour tout réel r en entrée on dispose d'une fonction récursive Fr(l) qui donne les l premiers chiffre de r, il est possible qu'il n'existe pas de fonction récursive G(l) qui donne la sortie avec l chiffres.

Bref, je pense qu'il n'est pas possible de travailler exactement avec R (surtout que R n'est pas dénombrable, au contraire de Q, ce qui fait qu'il n'est même pas possible de coder tous les réels).

[tatoute]

j'ai du manquer de clarté.

Ce que je voulais dire c'est que la chose informatique appelée nombre flottant possède beaucoup des propriétés des corps totalement ordonnés, sauf l'associativité de l'addition (pour simplifier).

Ma question est: comment on travaille avec un ensemble présentant les caractéristiques d'un corps totalement ordonné privé de l'associativité de l'addition? que perd t-on par rapport à un corps totalement ordonné?

Michel.

[invitec314d025]

Le problème c'est qu'en perdant l'associativité, tu perds à peu près tout. Je crois qu'on sait tous à peu près tous ce que sont les nombres flottants, ceci dit je serais intéressé de savoir si tous les langages, et parmi tous les langages tous les compilateurs, implémentent de la même manière les nombres flottants (je suis à peu près sûr que non, même en ne considérant que les compilateurs), et ce qu'imposent précisément les différentes normes informatiques. S'il ne me semble pas totalement vain de considérer ce problème sous forme purement mathématique (je précise que moi aussi je fais de l'informatique), il est souvent plus constructif de construire ses programmes en tenant compte des imprécisions dûes aux flottants, et surtout quand on essaye de faire des mathématiques pures via l'informatique. Dans ce dernier cas, il faut utiliser à peu prés les mêmes outils qu'en mathématiques, du genre majorer l'erreur, pour avoir un résultat sûr.

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

Salut matthias,

je serais intéressé de savoir si tous les langages, et parmi tous les langages tous les compilateurs, implémentent de la même manière les nombres flottants

Et bien en fait tout les langages (courant, c'est à dire C, fortran, VB, java..) respectent (avec des fois de toute petites nuances) la norme IEEE 754.
Si tu veux des détails sur la façons de faire des calculs "en tenant compte des imprécisions dûes aux flottants" je te conseille se document : www.librecours.org/documents/7/785.pdf

Erik

[invitec314d025]

Je vais lire ça. Merci beaucoup.