Corps de fractions

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

J'ouvre ce nouveau fil suite à une réflexion d'ambrosio, que je trouve intéressante en elle-même.

fderwelt:
Cela dit, mon problème était plus précis: étant donné un corps commutatif de caractéristique zéro, comment peut-il être vu comme corps des fractions d'un anneau -- le plus petit possible, évidemment?

ambrosio:
tiens! je me suis posé la même question. Par exemple, construire un sous-anneau de R dont R soit le corps des fractions.
pour ce qui est de la relation clôture/complétion, je pense que l'argument de cardinalité ne suffit pas. D'accord, il y a plus de suites que de polynômes, mais ce qui compte c'est le "nombre" de suites de Cauchy, et ça dépend de la métrique choisie.

Il y a une solution facile: R est un anneau (eh oui!), dont R est le corps des fractions. Mais ce n'est évidemment pas ça qu'on cherche...

Plus généralement: soit K un corps (commutatif, et de caractéristique zéro si ça peut aider). Quels sont les anneaux dont K est le corps de fractions? QQuelles relations ont-ils entre eux? En existe-t-il un "plus optimal" que les autres, notamment "plus petit" ? Bien sûr, on ne distinguera pas les cas triviaux d'isomorphismes: par exemple, Q est le corps des fractions de Z, mais aussi évidemment de tous les nZ pour n entier naturel...

Le problème a été posé par Dirichlet il y a bien longtemps, mais je n'ai pas connaissance de solutions ou de voies de réponse satisfaisante.

Alors, merci à qui aura des idées ou des pistes!

-- françois
-----

[martini_bird]

Salut,

une première remarque : un anneau et son corps de fractions ont le même cardinal s'ils sont infinis.

Cordialement.

[invite986312212]

Q est le corps des fractions de Z, mais aussi évidemment de tous les nZ pour n entier naturel...

il faut quand-même que l'anneau soit intègre! (donc premier). Dans la littérature, on ne définit le corps des fractions que pour les anneaux unitaires. D'ailleurs je m'étais aussi posé cette question: comment définir le corps des fractions d'un anneau non unitaire?

[invite986312212]

il faut quand-même que l'anneau soit intègre! (donc premier)

là je viens d'écrire une connerie...

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

le corps de fractions d'un anneau intègre A est le quotient du produit AxA par la relation d'équivalence ~ définie par :
(a, s)~(a', s') ssi as'-a's=0.

Y a-t-il besoin de l'unité dans cette construction?

Cordialement.

[invite6de5f0ac]

Merci, les gars!

D'abord, Q est le corps des fractions de nZ pour n entier naturel différent de zéro (je l'avais implicitement exclu, mais comme personne n'a relevé... il n'empêche que c'est ce genre de cas "pathologiques" qui fait foirer les plus beaux théorèmes).

La remarque sur le cardinal est correcte, mais ça m'avance en quoi?

Il n'est pas nécessaire que l'anneau soit intègre, ni même unifère. Mais je rappelle que je pars d'un corps, et que je cherche un anneau! Pas l'inverse...

Justement. Le corps des fractions est bien défini comme élément universel pour la relation d'équivalence a/b = c/d <==> ad = bc. (c'est en fait le symétrisé pour la loi multiplicative, à quelques détails de formalisme près).

On a donc un foncteur de la catégorie Ann des anneaux dans celle Fld des corps. Et, légitimement, le foncteur adjoint (dans l'autre sens) est un foncteur d'oubli. On ne peut donc pas espérer une solution unique. Mais il y a peut-être une solution "initiale" ou "finale" (au sens des catégories) qui serait plus agréable que les autres...

C'est ça, en vrai, ma question.

-- françois

[martini_bird]

Salut,

La remarque sur le cardinal est correcte, mais ça m'avance en quoi?

Ca donne juste une idée de l'anneau que l'on va récupérer. Illustration : pour R, on sait que l'anneau doit être beaucoup plus gros que par exemple. C'était une remarque qualitative.

Il n'est pas nécessaire que l'anneau soit intègre, ni même unifère.

Ah bon? Je me souviens avoir été repris sur le forum en parlant du corps de fractions d'un anneau non intègre :

En fait ton anneau A n'est pas intègre, donc on ne peut pas vraiment parler du corps des fractions.

Je sais bien que l'on peut construire le localisé en prenant
(a, s)~(a', s') ssi il existe t tel que t(as'-a's)=0.

C'est la même construction?

Sinon, j'ai retrouvé ce fil : je ne sais pas si tu l'avais remarqué.

Cordialement.

[invite6de5f0ac]

C'était une remarque qualitative.

Je sais bien que l'on peut construire le localisé en prenant
(a, s)~(a', s') ssi il existe t tel que t(as'-a's)=0.

C'est la même construction?

Sinon, j'ai retrouvé ce fil : je ne sais pas si tu l'avais remarqué.

Merci!

Qualitative, la remarque, ça oui... ça évite toujours de chercher des solutions trop faciles!

Pour un anneau non intègre, la construction est effectivement similaire à celle d'un localisé. Avec tous les embêtements que ça comporte: ramification et autres joyeusetés!

Et le fil que tu cites (que je n'avais pas vu) montre que ma question avait déjà été posée. Et non résolue...

-- françois

[invite35452583]

La construction du corps des fractions n'a pas besoin que l'anneau soit unitaire : la classe (a,a) est l'unité du corps. (a non nul)
Non intègre, certes mais bon c'est déjà pas évident de trouver un sous-anneau strict de R dont ce dernier serait le corps des fractions. Je ne suis même pas sûr que ça existe.
Sinon convient pour ? Je crois mais fderwelt pourra confirmer (ou infirmer). Ca fait longtemps que je n'ai pas travaillé sur les p-adiques et en plus je n'ai jamais approfondi.

[invite986312212]

Sinon convient pour ? Je crois mais fderwelt pourra confirmer (ou infirmer). Ca fait longtemps que je n'ai pas travaillé sur les p-adiques et en plus je n'ai jamais approfondi.

mes souvenirs sont anciens aussi, mais justement il me semble me souvenir que les nombres p-adiques sont un exemple où on obtient par complétion un corps algébriquement clos (mais est-ce une clôture algébrique?)

[invite35452583]

mes souvenirs sont anciens aussi, mais justement il me semble me souvenir que les nombres p-adiques sont un exemple où on obtient par complétion un corps algébriquement clos (mais est-ce une clôture algébrique?)

Après une visite sur wikipedia.
Zp et Qp sont complets, le premier est compact (c'est l'espace de Cantor).
Qp est clairement le corps de fraction de Zp.
Qp n'est pas algébriquement clos. Sa cloture algébrique n'est pas topologiquement complet. Cette dernière peut être topologiquement complétée, cette complétion est algébriquement close. (En tant que corps c'est le corps des complexes, bref c'est C avec une distance ultramétrique).