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MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables



  1. #1
    Romain-des-Bois

    MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables


    ------

    Bonjour à tous,

    mon problème est le suivant :

    calculer la somme :

    B_n = la somme 1<=i<=j<=n de 2^i x 3^j


    d'abord je fixe i,

    et j'obtiens : somme de 1<=i<=n de somme de 1<=j<=i de 2^i x 3^j

    d'abord, est-ce juste ?

    puis-je ensuite sortir le 2^i ?

    et comment calcule-t-on une somme pareille (du type : somme de 1<=k<=n 2^k) ?


    merci bien !

    Romain

    -----

  2. #2
    doryphore

    Smile Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    C'est la somme des termes d'une suite géométrique: cf leçon...

    Sinon, i<=j ou j<=i ???

    ET après, oui tu peux factoriser par le facteur donc tu as décidé de fixer l'exposant de lu sigma de droite...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  3. #3
    Romain-des-Bois

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par doryphore
    C'est la somme des termes d'une suite géométrique: cf leçon...

    Sinon, i<=j ou j<=i ???
    i<=j, pourquoi je me suis planté quelque part ?


    ET après, oui tu peux factoriser par le facteur donc tu as décidé de fixer l'exposant de lu sigma de droite...
    evidemment, où avais-je la tête ?


    merci

  4. #4
    Romain-des-Bois

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    je crois que j'ai compris (décidemment !)

    si je fixe i,

    je ne peux pas écrire : somme de i=1 à n (de la somme de j=1 à i de 2^i x 3^j )


    il faut que je fixe j,

    j'ai alors :

    somme de j=1 à n de (la somme de i=1 à j de 2^i x 3^j)


    ce qui me donne :

    somme de j=1 à n de 3^j x somme de i=1 à j de 2^i


    et j'applique bêtement la formule : (1 - q^n+1) / 1-q :

    [1 - 3^(n+1) / (1-3)] x [(1-2^j+1) / (1-2)]

    un petit problème toutefois : j'ai du j qui apparait dans mon résultat...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    doryphore

    Smile Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Il faut commencer par appliquer la formule qui donne la somme sur e sigma de droite, puis voir ce que ça fait quand tu remultiplie par 3^j avant de penser à calculer le sigma de gauche...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  7. #6
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Salut !

    Sauf erreur ta somme vaut plutôt

    Ensuite tu appliques 2 fois la somme des termes d'une suite géométrique.

    Au final je trouve (aucune garantie hein )

    EDIT : ça marche pour n = 1 et pour n = 2
    Dernière modification par g_h ; 02/10/2005 à 10h43.

  8. #7
    doryphore

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Si tu commence par la somme de sur j tu as du somme de 1 à j plutôt que du somme de i à n, ce n'est pas plus simple ?
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  9. #8
    Romain-des-Bois

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Bon si j'ai bien compris :

    1. je fixe j

    2. je partage ma somme :

    somme de j=1 à n de somme de i = 1 à j de 2^i x 3^j


    3. je sors le 3^j

    somme de j=1 à n de 3^j x somme de i=1 à j de 2^i

    4. j'applique la formule à droite :

    somme de j=1 à n de 3^j x [(1-2^j+1)/(1-2)]

    5. je multiplie par 3^j :

    somme de j=1 à n de ( 3^j x (1-2^j+1)/(-1) )

    somme de j=1 à n de - 3^j + 3^j x 2^j+1


    et là ?

    merci beaucoup

  10. #9
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par doryphore
    Si tu commence par la somme de sur j tu as du somme de 1 à j plutôt que du somme de i à n, ce n'est pas plus simple ?
    Ah, oui en effet !

  11. #10
    Romain-des-Bois

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par g_h
    Salut !

    Sauf erreur ta somme vaut plutôt

    Ensuite tu appliques 2 fois la somme des termes d'une suite géométrique.

    Au final je trouve (aucune garantie hein )

    EDIT : ça marche pour n = 1 et pour n = 2
    je capte pas où c'est que tu l'appliques une deuxième fois...

  12. #11
    doryphore

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Heu Romain, refais ton développement au 5, please...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  13. #12
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par Romain29
    Bon si j'ai bien compris :

    1. je fixe j

    2. je partage ma somme :

    somme de j=1 à n de somme de i = 1 à j de 2^i x 3^j


    3. je sors le 3^j

    somme de j=1 à n de 3^j x somme de i=1 à j de 2^i

    4. j'applique la formule à droite :

    somme de j=1 à n de 3^j x [(1-2^j+1)/(1-2)]


    Non ?

    Ensuite tu peux séparer ta somme en 2, et ne pas oublier que 2^k * 3^k = 6^k
    Dernière modification par g_h ; 02/10/2005 à 10h54. Motif: erreurs

  14. #13
    Romain-des-Bois

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    5. je multiplie par 3^j :

    somme de j=1 à n de ( 3^j x (1-2^j+1)/(-1) )

    somme de j=1 à n de - ( 3^j - 3^j x 2^j+1 )
    -------------------- 3^j x 2^j+1 - 3^j


    y a pas d'erreur, si ?

    suis je sur la bonne voie jusque là ?

    merci

  15. #14
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Petit rappel : somme des termes d'une suite géométrique


    Ou en français :
    (il me semble qu'il y a une erreur sur ta somme des 2^i !)

  16. #15
    doryphore

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    A excuse moi, comme je ne l'ai pas calculé moi-même, je m'appuyait sur tes résultats et j'avais vu (1 -2^j +1)

    Ok, eh bien 2^(j+1) = 2^j *2 et g_h pour conclure...
    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  17. #16
    Romain-des-Bois

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Bon, j'ai tout repris :

    je fixe i

    j'applique tout ce que je peux appliquer :

    et j'ai somme pour i=1 à n de (6^i - 6^i x 3^n-i+1 )/-2

    je pense que jusque là c'est bon.

    mais je ne peux pas appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géom là.

    alors ?

    [EDIT] le message de Doryphore n'était pas affiché !

    en fixant j, j'arrive à somme pour j=1 à n de 3^j ( 2^j+1 -1)

    j'imagine que là, je divise la somme en deux et je re applique la formule. mais comment ?

    mais en ayant fixé i avant, c'est possible de conclure ?
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 02/10/2005 à 11h18.

  18. #17
    Romain-des-Bois

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    j'ai tout refait au clair :

    en fixant i, j'ai :

    somme pour i = 1 à n de 6^i x (1-3^(n-i+1) / (-2)


    en fixant j, j'ai :

    somme pour j = 1 à n de -3^j x 2 x ( 1-2^(j+1) ) (1)

    j'aimerais savoir si jusque là, je ne me suis pas trompé.

    et ensuite :
    que faire pour conclure : est-ce que j'applique plusieurs fois ma formule dans (1) ?

    je pense que je vais arriver à conclure,

    pardon d'insister

    merci à vous deux

  19. #18
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par Romain29
    Bon, j'ai tout repris :

    je fixe i

    j'applique tout ce que je peux appliquer :

    et j'ai somme pour i=1 à n de (6^i - 6^i x 3^n-i+1 )/-2
    Ce qui fait :



    (tu as le droit de sortir les termes constants de ta somme)
    Et là tu réappliques 2 fois la formule de la somme d'une suite géométrique pour tomber sur la réponse

  20. #19
    Romain-des-Bois

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Je suis vraiment mauvais !


    Le problème était archi facile, et ben non : ça voulait pas !

    Je suis allé manger, et puis ... c'est sorti tout seul.

    Je faisais vraiment n'importe quoi ! pourtant le problème était super simple

    je me demande dès fois ....


    merci beaucoup en tous cas !


    PS : g_h : je trouve comme toi.

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