MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables
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MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables



  1. #1
    inviteaeeb6d8b

    MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables


    ------

    Bonjour à tous,

    mon problème est le suivant :

    calculer la somme :

    B_n = la somme 1<=i<=j<=n de 2^i x 3^j


    d'abord je fixe i,

    et j'obtiens : somme de 1<=i<=n de somme de 1<=j<=i de 2^i x 3^j

    d'abord, est-ce juste ?

    puis-je ensuite sortir le 2^i ?

    et comment calcule-t-on une somme pareille (du type : somme de 1<=k<=n 2^k) ?


    merci bien !

    Romain

    -----

  2. #2
    invite3bc71fae

    Smile Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    C'est la somme des termes d'une suite géométrique: cf leçon...

    Sinon, i<=j ou j<=i ???

    ET après, oui tu peux factoriser par le facteur donc tu as décidé de fixer l'exposant de lu sigma de droite...

  3. #3
    inviteaeeb6d8b

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par doryphore
    C'est la somme des termes d'une suite géométrique: cf leçon...

    Sinon, i<=j ou j<=i ???
    i<=j, pourquoi je me suis planté quelque part ?


    ET après, oui tu peux factoriser par le facteur donc tu as décidé de fixer l'exposant de lu sigma de droite...
    evidemment, où avais-je la tête ?


    merci

  4. #4
    inviteaeeb6d8b

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    je crois que j'ai compris (décidemment !)

    si je fixe i,

    je ne peux pas écrire : somme de i=1 à n (de la somme de j=1 à i de 2^i x 3^j )


    il faut que je fixe j,

    j'ai alors :

    somme de j=1 à n de (la somme de i=1 à j de 2^i x 3^j)


    ce qui me donne :

    somme de j=1 à n de 3^j x somme de i=1 à j de 2^i


    et j'applique bêtement la formule : (1 - q^n+1) / 1-q :

    [1 - 3^(n+1) / (1-3)] x [(1-2^j+1) / (1-2)]

    un petit problème toutefois : j'ai du j qui apparait dans mon résultat...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite3bc71fae

    Smile Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Il faut commencer par appliquer la formule qui donne la somme sur e sigma de droite, puis voir ce que ça fait quand tu remultiplie par 3^j avant de penser à calculer le sigma de gauche...

  7. #6
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Salut !

    Sauf erreur ta somme vaut plutôt

    Ensuite tu appliques 2 fois la somme des termes d'une suite géométrique.

    Au final je trouve (aucune garantie hein )

    EDIT : ça marche pour n = 1 et pour n = 2
    Dernière modification par g_h ; 02/10/2005 à 10h43.

  8. #7
    invite3bc71fae

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Si tu commence par la somme de sur j tu as du somme de 1 à j plutôt que du somme de i à n, ce n'est pas plus simple ?

  9. #8
    inviteaeeb6d8b

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Bon si j'ai bien compris :

    1. je fixe j

    2. je partage ma somme :

    somme de j=1 à n de somme de i = 1 à j de 2^i x 3^j


    3. je sors le 3^j

    somme de j=1 à n de 3^j x somme de i=1 à j de 2^i

    4. j'applique la formule à droite :

    somme de j=1 à n de 3^j x [(1-2^j+1)/(1-2)]

    5. je multiplie par 3^j :

    somme de j=1 à n de ( 3^j x (1-2^j+1)/(-1) )

    somme de j=1 à n de - 3^j + 3^j x 2^j+1


    et là ?

    merci beaucoup

  10. #9
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par doryphore
    Si tu commence par la somme de sur j tu as du somme de 1 à j plutôt que du somme de i à n, ce n'est pas plus simple ?
    Ah, oui en effet !

  11. #10
    inviteaeeb6d8b

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par g_h
    Salut !

    Sauf erreur ta somme vaut plutôt

    Ensuite tu appliques 2 fois la somme des termes d'une suite géométrique.

    Au final je trouve (aucune garantie hein )

    EDIT : ça marche pour n = 1 et pour n = 2
    je capte pas où c'est que tu l'appliques une deuxième fois...

  12. #11
    invite3bc71fae

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Heu Romain, refais ton développement au 5, please...

  13. #12
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par Romain29
    Bon si j'ai bien compris :

    1. je fixe j

    2. je partage ma somme :

    somme de j=1 à n de somme de i = 1 à j de 2^i x 3^j


    3. je sors le 3^j

    somme de j=1 à n de 3^j x somme de i=1 à j de 2^i

    4. j'applique la formule à droite :

    somme de j=1 à n de 3^j x [(1-2^j+1)/(1-2)]


    Non ?

    Ensuite tu peux séparer ta somme en 2, et ne pas oublier que 2^k * 3^k = 6^k
    Dernière modification par g_h ; 02/10/2005 à 10h54. Motif: erreurs

  14. #13
    inviteaeeb6d8b

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    5. je multiplie par 3^j :

    somme de j=1 à n de ( 3^j x (1-2^j+1)/(-1) )

    somme de j=1 à n de - ( 3^j - 3^j x 2^j+1 )
    -------------------- 3^j x 2^j+1 - 3^j


    y a pas d'erreur, si ?

    suis je sur la bonne voie jusque là ?

    merci

  15. #14
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Petit rappel : somme des termes d'une suite géométrique


    Ou en français :
    (il me semble qu'il y a une erreur sur ta somme des 2^i !)

  16. #15
    invite3bc71fae

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    A excuse moi, comme je ne l'ai pas calculé moi-même, je m'appuyait sur tes résultats et j'avais vu (1 -2^j +1)

    Ok, eh bien 2^(j+1) = 2^j *2 et g_h pour conclure...

  17. #16
    inviteaeeb6d8b

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Bon, j'ai tout repris :

    je fixe i

    j'applique tout ce que je peux appliquer :

    et j'ai somme pour i=1 à n de (6^i - 6^i x 3^n-i+1 )/-2

    je pense que jusque là c'est bon.

    mais je ne peux pas appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géom là.

    alors ?

    [EDIT] le message de Doryphore n'était pas affiché !

    en fixant j, j'arrive à somme pour j=1 à n de 3^j ( 2^j+1 -1)

    j'imagine que là, je divise la somme en deux et je re applique la formule. mais comment ?

    mais en ayant fixé i avant, c'est possible de conclure ?

  18. #17
    inviteaeeb6d8b

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    j'ai tout refait au clair :

    en fixant i, j'ai :

    somme pour i = 1 à n de 6^i x (1-3^(n-i+1) / (-2)


    en fixant j, j'ai :

    somme pour j = 1 à n de -3^j x 2 x ( 1-2^(j+1) ) (1)

    j'aimerais savoir si jusque là, je ne me suis pas trompé.

    et ensuite :
    que faire pour conclure : est-ce que j'applique plusieurs fois ma formule dans (1) ?

    je pense que je vais arriver à conclure,

    pardon d'insister

    merci à vous deux

  19. #18
    g_h

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Citation Envoyé par Romain29
    Bon, j'ai tout repris :

    je fixe i

    j'applique tout ce que je peux appliquer :

    et j'ai somme pour i=1 à n de (6^i - 6^i x 3^n-i+1 )/-2
    Ce qui fait :



    (tu as le droit de sortir les termes constants de ta somme)
    Et là tu réappliques 2 fois la formule de la somme d'une suite géométrique pour tomber sur la réponse

  20. #19
    inviteaeeb6d8b

    Re : MPSI - calcul d'une somme indexée par deux variables

    Je suis vraiment mauvais !


    Le problème était archi facile, et ben non : ça voulait pas !

    Je suis allé manger, et puis ... c'est sorti tout seul.

    Je faisais vraiment n'importe quoi ! pourtant le problème était super simple

    je me demande dès fois ....


    merci beaucoup en tous cas !


    PS : g_h : je trouve comme toi.

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