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équation diophantienne



  1. #1
    vibraphone

    équation diophantienne


    ------

    Voilà, je dois résoudre l'équation diophancienne suivante :
    (3x-2y)(4x+10y)=26.
    Alors je me suis dit : 26=13*2
    Donc si (3x-2y)=13 et (4x+10y)=2 , alors mon équation sera bien résolue. (j'aurais d'ailleurs pu prendre 1 et 26)
    Donc j'ai résolu les deux équations, et ça me donne :
    (3x-2y)=13 -> x=2k+13 et y=3k+13
    et : (4x+10y)=2 -> x=-5k'-2 et y=2k'+1
    Mais c'est là que j'arrive pas à montrer quelle(s) est(sont) la(les) solution(s).

    -----
    "Ne crois pas aux miracles, compte sur eux." B. Malgrange.

  2. Publicité
  3. #2
    Hamb

    Re : équation diophantienne

    A priori il faut résoudre le système 2k+13=5k'-2 et 3k+13=2k'+1
    Et puis il faut refaire la meme démarche quand les 2 facteurs sont 1 et 26 et non 2 et 13

  4. #3
    -Zweig-

    Re : équation diophantienne

    Puisque la décomposition en facteurs premiers de 26 est 13*2 = 23*1, alors tu dois résoudre, indépendamment, ces 4 systèmes :

    3x - 2y = 13 (1)
    4x + 10y = 2

    3x - 2y = 2
    4x + 10y = 13

    3x - 2y = 23
    4x + 10y = 1

    3x - 2y = 1
    4x + 10y = 23

    ----------------------------------

    Par exemple, si je devais résoudre (1), je procéderais de la sorte :

    3x - 2y = 13
    4x + 10y = 2

    <=>

    15x - 10y = 65
    4x + 10y = 2

    <=> 19x = 67 <=> x = 67/19 qui n'est pas entier. Ainsi ce système n'admet aucune solution dans Z.
    Dernière modification par -Zweig- ; 16/11/2007 à 21h32.

  5. #4
    vibraphone

    Re : équation diophantienne

    En fait c'est exactement ce que j'avais fait. Mais pour moi, il y avait forcément des solutions or je ne trouvais que des trucs /19, donc je pensais qu'il y avait une autre manière mais apparemment non. Merci beaucoup.
    "Ne crois pas aux miracles, compte sur eux." B. Malgrange.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    vibraphone

    Re : équation diophantienne

    PS : j'avais fait la méthode de Hamb. Et, avec celle-ci, on peut directement supprimer les systèmes
    3x - 2y = 2
    4x + 10y = 13

    3x - 2y = 23
    4x + 10y = 1
    car PGCD(4,10)=2, et 2 ne divise ni 13, ni 1, doc ces système sont exclus dirrectement.
    Par contre ta méthode Zweig est bcp plus rapide !
    "Ne crois pas aux miracles, compte sur eux." B. Malgrange.

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