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équation diophantienne



  1. #1
    franc15

    équation diophantienne


    ------

    Bonsoir s'il vous plait aidez-moi à rézoudre cette démonstration, j'ai déjà tant cherché mais en vain.En voici l'énoncé:
    Démontrer que l'équation suivante admet une infinité de solutions entière positive: ax-by=c
    NB: a,b et c sont des entiers relatifs et pgcd(a,b)=1

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    rvz

    Re : équation diophantienne

    Exercice du bac ?

    Une indication : Traites le cas c=1 d'abord.

    Existence de solution(s) ?
    Unicité ? Tu verras normalement que non. D'où la question suivante : Quelles sont toutes les solutions de cet équation ?

    __
    rvz

  4. #3
    franc15

    Re : équation diophantienne

    en fait c'est un peu évident de monter l'infinité des solutions la difficulté surgirait au niveau de la positivité de toutes ces solutions!comment tu vois ça RVZ?

  5. #4
    rvz

    Re : équation diophantienne

    D'abord, essaye de décrire exactement toutesles solutions de cette équation diophantienne, sans mettre les conditions de positivité. Après, on verra, ok ?
    Tu n'auras plus qu'à finir avec des inégalités assez simples je pense.
    __
    rvz

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    fderwelt

    Re : équation diophantienne

    Citation Envoyé par franc15
    en fait c'est un peu évident de monter l'infinité des solutions la difficulté surgirait au niveau de la positivité de toutes ces solutions!comment tu vois ça RVZ?
    Bonjour,

    Mais c'est même pas vrai! Ça dépend des signes de a et b... Si la droite ax-by=c a une pente négative, elle ne coupe (si elle le fait) le premier quadrant (où x et y sont > 0) que sur une longueur finie, et donc l'équation n'a qu'un nombre fini de solutions entières positives.
    Voir par exemple "An Introduction to the Geometry of Numbers" de JWS Cassels, si tu peux le trouver, mais sinon ça ne vaut pas la peine de l'acheter (trop cher pour ce que c'est, même si c'est très intéressant).

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  8. #6
    rvz

    Re : équation diophantienne

    Bonjour François,

    Il me semble que dans cette phrase, il faisait allusion à toutes les solutions dans Z^2, et donc là c'est vrai...
    __
    rvz, à part ça, il est bien se bouquin ? Je veux dire comparé aux Ireland et Rosen, Samuel, etc...(j'aurais pu dire Hartshorne, mais bon, je suis pas crédible )

  9. Publicité
  10. #7
    fderwelt

    Re : équation diophantienne

    Citation Envoyé par rvz
    à part ça, il est bien se bouquin ? Je veux dire comparé aux Ireland et Rosen, Samuel, etc...(j'aurais pu dire Hartshorne, mais bon, je suis pas crédible )
    Rebonjour,

    Bof... C'est un classique, mais je le trouve assez décevant. Si tu peux l'avoir dans une bibliothèque universitaire, il est intéressant, mais vu le prix, pour se coltiner une théorie techniquement pénible des approximations diophantiennes, ça ne vaut pas le coup.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  11. #8
    franc15

    Re : équation diophantienne

    Merci je vais essayer de suivre vos indications pour la positivité des solutions

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