Bonjour, je voudrais connaitre la définition exacte du Degré d'algébricité. C'est ce qui permet de dire qu'un nombre algébrique approxime plus ou moins bien un nombre rationnel. C'est qqchose comme :
|p-q|<epsilon^n ou p est le nombre algébrique étudié, q un rationnel, et n le degré. Pour un nombre transcendant on a cette majoration pour n quelconque.
Merci pour vos précisions.
Ce que je connais, c'est ceci :
pour un nombre algébrique x de polynôme minimal rationnel P(X) de degré n. Il existe k tel que pour tout rationnel p/q, on a
|x-p/q|>k/q^n
Preuve "approximative" :
quitte à multiplier par un entier on peut supposer que P est un polynôme à coefficient entier. De plus P n'a pas de racine rationnelle (sinon contradiction avec la minimalité de P)
On a |P(x)-P(p/q)| vaut environ |P'(x)||x-p/q|
Or |P(x)-P(p/q)|=|P(p/q)|=le numératuer est un entier non nul donc supérieur ou égal à 1 en v.a.
On trouve alors l'inégalité annoncée (en réglant qqes petits problèmes techniques)
Je crois savoir que pour ce même x, on peut néanmoins trouver des approximations aussi bonnes que l'on veut en
pour tout e>0, il existe p et q tels que
ceci permet de définir le degré d'algébricité : 1+plus grand n' tel que l'on peut approximer arbitrairement q^n'|x-p/q|
Pour un rationnel p/q, on a pour p'/q' distinct du 1er
|p/q-p'/q'|>(1/q)/q' donc n'<1, par contre il est évident que cela marche pour n'=0.
Degré d'algébricité d'un rationnel=1.
Pour un nombre transcendant, degré d'algébricité=+infini. C'est un résultat qui permet de montrer la transcendance de certains nombres : en gros on trouve une suite de rationnels qui convergent très vite vers le nombre.
J'espère avoir répondu en partie à ta question.
On peut par là démontrer par ce fait que
Je ne te crois pas ! 0,11111111111111111111111... est on ne peut plus rationnel !Envoyé par indian58
On peut par là démontrer par ce fait que
Par contre, je miserai plus sur
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rvz
