Equation du second degré

[Gabriel]

y=ax**2 + bx + c
2 racines réelles, 1 racine réelle double, 2 racines compexes, selon que le déterminant est positif, nul, négatif.
géométriquement, la courbe y=f(x) coupe l'axe des x, en 2 points, 1 point, 0 point.
Je souhaite trouver une explication ou une image géométrique représentative du cas où le déterminant est négatif.
Par exemple, en se mettant dans un espace à 3 dimensions, et considérer un paraboloïde à la place de la parabole ? Mais j'arrive à une impasse.
Y a t'il une sorte de "vidéo" qui imagerait le passage progressif de 2 racines réelles à 2 racines imaginaires ?
Auriez-vous une idée ?
Merci.
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[indian58]

Quand le déterminant est strictement négatif, ta parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

[Gabriel]

oui, je sais qu'elle ne coupe pas l'axe des x, mais peux t'on trouver une image géométrique représentant les 2 racines complexes ?
Une image qui engloberait tous les cas : 2 racines réelles, 1 racine réelle double, 2 racines imaginaires ?

[invitec053041c]

Bonjour.

Si on voulait bien faire les choses, il faudrait à tout complexe z représenter son image P(z). Mais sachant que P(z) peut être complexe, il faudrait ainsi représenter une fonction de IC dans IC, c'est-à-dire que le graphe serait contenu dans un espace de dimension 4. (difficile à visualiser )

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Tu peux essayer de créer une fonction de C dans R en prenant le module de P(z). AInsi tu te restreins à 3 dimensions : le plan pour C (dimension x et y dans R^3) et l'axe des z pour le résultat

[invite35452583]

Désolé de jouer les troubles fêtes mais il n'y a pas que les variables x et y il y surtout les trois paramètres (on peut les ramener à 2 en ne prenant que les polynomes unitaires) a, b et c. Sans simplification, on est déjà au mieux en dimension 4 sans recourir à C.

[ericcc]

Je crois que l'idée est de comprendre "ce qui se passe" quand on passe d'une valeur positive à une valeur négative du discriminant. On peut prendre différents jeux de paramètres a,b et c et tracer les courbes correspondantes.

[invite35452583]

Je crois que l'idée est de comprendre "ce qui se passe" quand on passe d'une valeur positive à une valeur négative du discriminant. On peut prendre différents jeux de paramètres a,b et c et tracer les courbes correspondantes.

Je n'ai pas dit que c'était faisable mais qu'il fallait tenir compte en plus des paramètres, ici, réels. 2 pour X, 2 pour Y, 1 pour a, b et c. Le problème initial est en dimension 7, c'est pour dire que pour l'image simple, il ne faut pas rêver.
Bref de bavardage, allons-y pour une description partielle et tant pis pour les maux de tête je ne fournis pas les aspirines.
"Eliminons" les paramètres :
a est éliminé en rendant le polynome unitaire x²+bx+c. (C'est une simple* affinité d'un espace de dimension 4 (les x, y doivent être pris complexe si on vaut comprendre ce qui se passe) de base un plan* ("celui des x", il reste invariant) dans la direction d'un plan* ("celui des y") (plan pour la dimension réelle droite pour la dimension complexe).
b est éliminé en se ramenant au centre (x-b)²-b²+c, c'est une simple* translation.
*simple dans le sens où l'objet géométrique n'est que peu déformé. (en D2 l'image par affinité d'une parabole, d'une ellipse, d'une hyperbole... ressemble beaucoup à son antécédent, en D3 idem pour paraboloïde...)
Notre ax²+bx+c est ainsi transformé en X²+c (le discriminant est désormais -4c) et on ne fera intervenir c que pour couper la surface géométrique Y=X² par la droite complexe (et donc "plan réel") Y=-c.
La question des paramètres peut être en partie réglée.
La surface réelle ou courbe complexe d'équation Y=X² est un objet vivant en dimension complexe 2, en dimension réelle 4 (comme le rappelait Ledescat). De la même manière qu'en D3, pour voir mieux on coupe par des plans, en d4 on coupe par des espaces D3 (pour au moins entrevoir par contre).
Il n'est pas mauvais de se placer dans une situation où (X ; Y)= (1,0) (i,0) (0,1) (0,i) sont perpendiculaires.
Bon là il faut commencer à faire des dessins sur des feuilles si ce n'est pas déjà commencé.
Coupons cette surface par l'espace contenant le plan des antécédents x et la partie réelle de Y (l'espace d'équation Im(Y)=0 convient très bien).
Dans cet espace la coupe est formée par deux paraboles (seuls les réels et les imaginaires purs ont des carrés réels) orthogonales ({X réels} est orthogonale à {X imaginaires purs} son , se coupant en leur sommet commun et de direction asymptotique opposée (Re(Y)->+infini pour les réels, ->-infini pour les imaginaires).
On peut regarder désormais l'intersection avec la droite complexe (plan réel) d'équation Y=c qui est dans cet espace (si c est réel !) D3 réel. On voit bien le passage progressif 2 racines réelles, 1 racine double, deux racines complexes.
Ca manque de continuité ? Couper un tore par un plan vous verrez.
ajoutons un peu de continuité, pour cela projetons sur cet espace (autrement dit prenons la partie réelle de nos Y).
On a une jolie nappe que l'on peut décrire ainsi :
On part de la courbe image des X réels positifs, on fait tourner, celle-ci "s'aplatit" vers le plan des X tout en gardant la même forme globalement, puis coupe le plan X en la 1ère diagonale (changement de forme de la courbe réelle), passé cette étape on retrouve cette forme parabolique mais de direction asymptotique inversée puis "s'éloigne" de plus en plus du plan des X pour aller se coller à la parabole Y=X² X étant des imaginaires purs dans la même demi-droite que i, on continue on a la symétrie par rapport au plan formé par (i,0) et (1,0) et passant par O. On rejoint la branche de la parabole Y=X² X réel<0 (en passant par la demi-droite contenue par la 2ème diagonale), puis on a la symétrie de tout ce qui précède par le plan formé par (1,0) (0,1) passant par O. On a une selle de cheval infinie.
On peut aussi le voir en prenant l'image d'un cercle du plan des X, on part d'un max pour X réel >0, ça descend jusqu'au moment où on arrive aux imaginaires purs """positifs""", ça coupe le pan des x pour un angle de pi/4 (il y a point d'inflexion)... (il n'y a plus qu'à découper selon les pointillés, mettre des étriers et aller concourrir au prochain derby).
Le plan Y=c ne coupe pas les parties de la nappe rejoignant les branches de parabole du départ car celles-ci ne sont que des projetés (il y a une dimension en +, Im(Y) qui empêche les croisement).
Maintenant, on peut regarder la situation si on prend l'espace passant par O formé par "les X" et (i,0). Les droites intersections de la projeté de la surface avec le plan des X devient les réels et les imaginaires purs, les courbes "extrémales" sont désormais en les 1ère et 2ème diagonales. L'intersection du plan Y=c (c réel) avec cet espace est vide (ils sont parallèles), le projeté de ce plan est le plan des X. (Les intersections avec les droites réelles et imaginaires pures ne sont que des "coïncidences" de projetection hormis deux points dans le cas général, dans le cas Y=0, le plan est égal à son projeté l'intersection est bien une intersection double).
On peut aussi regarder pour une direction réelle quelconque des Y, on a une situation similaire pour la surface (le plan Y=c est projeté sur un plan, toujours parallèle à X, coupe la projetée de la surface selon une hyperbole la projection des deux points d'intersection est les deux sommets de cet hyperbole étant sur une des deux paraboles "extrémales".
Pour b complexe, il reste une simple translation (si a=1)
Pour c complexe, la situation reste la même (les directions privilégiées de Y changent c'est tout).
Pour a complexe, il faut plus de souplesse cervicale car ça tourne deux fois plus vite en y qu'en X (argument(X²)=2xargument(X)) L'orthogonalité et les symétries sont modifiées.
Il n'y plus qu'à feuilleter tout ça pour avoir une petite idée de la situation.

[ericcc]

Bravo Homotopie pour cette brillante démonstration. Mais je reprends mon idée de module. On ne cherche pas ici à comprendre f(z)=z²+c, mais uniquement à comprendre ce qui se passe pour les racines de l'équation z²+c=0.

Je propose donc de représenter la fonction réelle de deux variables f(x,y)=|z²+c| où z=x+iy.
En faisant varier le paramètre c, on voit différentes courbes.
Ce qui nous intéresse est uniquement l'intersection de cette courbe avec le plan z=0.
Ou bien ?

[invite35452583]

Bravo Homotopie pour cette brillante démonstration. Mais je reprends mon idée de module. On ne cherche pas ici à comprendre f(z)=z²+c, mais uniquement à comprendre ce qui se passe pour les racines de l'équation z²+c=0.

Je propose donc de représenter la fonction réelle de deux variables f(x,y)=|z²+c| où z=x+iy.
En faisant varier le paramètre c, on voit différentes courbes.
Ce qui nous intéresse est uniquement l'intersection de cette courbe avec le plan z=0.
Ou bien ?

Oui, on peut aussi chercher dans cette voie (tu peux le faire je suis sûr que c'est intéressant aussi, différentes "visions" sur un problème de ce type n'est jamais inutile ).
Pour ma part j'ai voulu plus insister sur l'allure de la paraboloïde complexe qui est différente à plus d'un niveau de la paraboloïde réelle. La réelle est une surface convexe, la complexe admet des "selles de cheval", l'intersection avec un plan réel peut être une hyperbole réelle, notamment.

[Gabriel]

Merci "Homotopie" pour ta réponse, qui je l'avoue m'a un peu dépassé, mais dont j'ai saisi la substantifique moelle...
Je vais reformuler ma question.

Faisons coulisser la parabole y=x**2 de -infini à + infini sur l'axe des y.
Prenons pour simplifier quelques valeurs concrètes :
y=x**2 -3
y=x**2 -2
y=x**2 -1
y=x**2
y=x**2 +1
y=x**2 +2
y=x**2 +3

Les solutions pour avoir y=0 sont :
x=+-Rac3
x=+-Rac2
x=+-Rac1
x=0
x=+-iRac1
x=+-iRac2
x=+-iRac3

Donc, effectivement, comme tu l'écrivais, dans le cas où la parabole ne coupe pas l'axe des x, les solutions semblent décrire une parabole "imaginaire".

Suis-je dans la bonne voie ?

[invite35452583]

Donc, effectivement, comme tu l'écrivais, dans le cas où la parabole ne coupe pas l'axe des x, les solutions semblent décrire une parabole "imaginaire".

Oui, c'est ça dans les grandes lignes, cette parabole "imaginaire" pouvant être considérée orthogonale à la parabole réelle de la même manière que la doite des des imaginaires purs est orthogonale à celle des réels dans le plan des complexes.