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Equation diophantienne



  1. #1
    VegeTal

    Equation diophantienne


    ------

    Bonjour, j'ai un exercice de spé maths :

    en résumé (car il n'y a que la dernière question qui me prose problème).

    on cherche à factoriser 250 507

    donc on pose

    après un travail modulo 7, 9 et 15 on trouve que pour que satisfasse l'équation il faut qu'il remplisse trois conditions :

    -(1) il est de la forme ou ou
    -(2) il est de la forme ou ou
    -(3) il est de la forme ou ou
    -(4)

    donc méthode bourrine on fais les restes des division par 7, 9 et 15 des nombre supérieurs à 501 et on regarde si que l'on trouve satisfait les trois conditions. ( (1) (2) (3) )

    après plusieurs incrémentions on trouve que
    on a montré que pour soit solution de l'équation il faut qu'il satisfasse les trois conditions énoncées en haut (514 est le premier à les remplir)

    mais il nous demande de montrer que cette condition est suffisante. Et là je peine un peu dans la raisonnement à tenir... si vous pouviez m'éclairer merci.

    -----
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  2. Publicité
  3. #2
    danyvio

    Re : Equation diophantienne

    De quelle équation s'agit-il ?
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  4. #3
    VegeTal

    Re : Equation diophantienne

    trouvez x, y tels que :

    (E)

    avec le raisonnement que j'ai exposé je trouve x = 514 et y = 117

    il faut montrer que, x satisfait les conditions (1), (2) et (3) est une condition suffisante pour que x soit solution de (E)

    enfin je pense qu'il faut montrer que le couple (514 ; 117) est l'unique couple solution de (E) .
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  5. #4
    danyvio

    Re : Equation diophantienne

    250507 est le produit 631 x 397, qui sont tous deux premiers.
    On ne peut donc pas décomposer autrement 250507.
    Or x2-y2=(x+y)(x-y).
    x+y valant 631 et x-y valant 397 ont bien pour unique solution x=514 et y=117.
    Ce n'est qu'une réflexion, et je ne suis pas sûr de t'aider ainsi.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    VegeTal

    Re : Equation diophantienne

    si mais il fallait le rendre ce matin et j'ai barbouillé comme quoi c'était l'unique solution, on va voir si ça passe
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

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