Equation diophantienne

[VegeTal]

Bonjour, j'ai un exercice de spé maths :

en résumé (car il n'y a que la dernière question qui me prose problème).

on cherche à factoriser 250 507

donc on pose

après un travail modulo 7, 9 et 15 on trouve que pour que satisfasse l'équation il faut qu'il remplisse trois conditions :

-(1) il est de la forme ou ou
-(2) il est de la forme ou ou
-(3) il est de la forme ou ou
-(4)

donc méthode bourrine on fais les restes des division par 7, 9 et 15 des nombre supérieurs à 501 et on regarde si que l'on trouve satisfait les trois conditions. ( (1) (2) (3) )

après plusieurs incrémentions on trouve que
on a montré que pour soit solution de l'équation il faut qu'il satisfasse les trois conditions énoncées en haut (514 est le premier à les remplir)

mais il nous demande de montrer que cette condition est suffisante. Et là je peine un peu dans la raisonnement à tenir... si vous pouviez m'éclairer merci.
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[danyvio]

De quelle équation s'agit-il ?

[VegeTal]

trouvez x, y tels que :

(E)

avec le raisonnement que j'ai exposé je trouve x = 514 et y = 117

il faut montrer que, x satisfait les conditions (1), (2) et (3) est une condition suffisante pour que x soit solution de (E)

enfin je pense qu'il faut montrer que le couple (514 ; 117) est l'unique couple solution de (E) .

[danyvio]

250507 est le produit 631 x 397, qui sont tous deux premiers.
On ne peut donc pas décomposer autrement 250507.
Or x²-y²=(x+y)(x-y).
x+y valant 631 et x-y valant 397 ont bien pour unique solution x=514 et y=117.
Ce n'est qu'une réflexion, et je ne suis pas sûr de t'aider ainsi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[VegeTal]

si mais il fallait le rendre ce matin et j'ai barbouillé comme quoi c'était l'unique solution, on va voir si ça passe