Résoudre une certain équation diophantienne

[invite29e3e540]

Bonjours à tous.
Alors en fait, bloque un peu sur la résolution d'une équation diophantienne, c'est une variante d'une autre que j'ai déjà vu sur le forum, elle a été posté par Zweig je pense.
Voilà l'équation sur laquelle je bloque :
Résoudre avec x premier, x - y⁴ = 4

Après avoir fait quelques essais, j'arrive à montre que le chiffre des unités de x est 9 en faisant un tableau avec le chiffre des unités de y⁴ + 4.

Mais c'est tout, vous avez pas une idée pour la résoudre ? Une indication ? une piste ?

Merci d'avance.
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Résoudre avec x premier, x - y⁴ = 4

Après avoir fait quelques essais, j'arrive à montre que le chiffre des unités de x est 9 en faisant un tableau avec le chiffre des unités de y⁴ + 4.

C'est curieux, je vois la solution .

[invite29e3e540]

Oui désolé j'avais oublié de précisé que j'avais déjà trouvé la solution (5;1).
Pour y = 0, pas de solutions puisque x = 4 est non premier.
Pour y = 1, on a la solution (5;1)
Mais pour y > 1, le chiffre des unités de x est 9... mais après comment trouver les solutions ?

Comme y est impair, je l'ai remplacé par 2k + 1 et j'obtient une sorte d'équation du 3eme degrès... Il n'y a pas quelque chose d'autre à faire ?

[invite986312212]

peut-être écrire x=y^4+4, donc x est somme de deux carrés. Il y a un théorème de Fermat sur les nombres qui peuvent s'écrire comme somme de deux carrés. Je ne me souviens pas bien et je ne sais pas si ça aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Si je ne me suis pas planté dans les calculs :
Je suis d'accord que x (à par le cas x = 5) doit être congru à 9 modulo 10, et donc que est congru à 5 modulo 10 et donc y congru à 5 modulo 10.
On peut donc écrire y = 10n + 5, l'équation devient
, ou encore
.
x n'est donc pas premier. La seule solution est (x, y) = (5, 1).

[invitea3eb043e]

C'est curieux, mais il me semble que (629, 5) est solution, je rêve ou quoi ?

[Médiat]

C'est curieux, mais il me semble que (629, 5) est solution, je rêve ou quoi ?

629 = 17*37 n'est pas premier

[invite29e3e540]

Merci beaucoup, j'ai compris.
Mais en remplaçant par y par 2k + 1, j'ai réussi à factoriser, et là on obtenait directement la solution (5;1).

[invite2220c077]

Yo,


Or si , les facteurs sont strictement supérieurs à 1 et donc ne peut être premier. Ainsi ce qui nous donne les couples solutions suivants :

[invite29e3e540]

Puré lol, c'était tout simple... mais fallait voir la factorisation

T'en aurai pas d'autres ^^ ? Pour que je m'entraine.
J'en est déjà trouvé plein sur internet mais j'en veux encore ;P

[invite2220c077]

Des équations diophantiennes en veux-tu en voilà :

1) Résoudre dans :

2) Résoudre dans :

3) Résoudre dans :

4) Résoudre dans :

5) Montrer que pour tout entier naturel , l'équation suivante admet une infinité de solutions :

6) Résoudre dans :

J'en ai encore plein d'autres, mais essaye celles-là déjà .

[invite2220c077]

Une petite dernière que j'aime bien :

7) Résoudre dans :

[invite29e3e540]

Lol, et bah ça en fait beaucoup ^^
Merci bon je vais essayer d'en faire quelques unes, je demanderais de l'aide au cas où ;p

[invite2220c077]

Et d'autres :

8) Résoudre dans :

9) Montrer que si la différence de deux cubes consécutifs est , , alors est un carré.

10) Le rayon du cercle inscrit à un triangle ABC, à côtés entièrs, est 1. Montrer que ce triangle est rectangle.

[invite29e3e540]

Alors pour la 1), il suffit de faire une recherche sur ce forum je crois, dommage que j'avais déjà vu comment faire ;S

1)Pour résoudre :

 Cliquez pour afficher

Il suffit de poser x = u+1 et y=v+1 puis on factorise

2) Résoudre dans :

 Cliquez pour afficher

Il suffit de factoriser comme ça : On a juste résoudre les systèmes

3) Pour celle la je bloque un peu, j'arrive a de multiples factorisation, j'ai essayé de travailler modulo 3 et 4 mais j'arrive à rien, une piste ? vers quoi me tourner ? j'ai remarqué que 61 est la somme de deux carré : 25 + 36, ça sert à quelque chose ? sinon voilà à quoi j'arrive : , suis-je HS ?

[invite2220c077]

Pour la 3) : Sers-toi de l'identité suivante : pour tout réel , et on a :

[invite29e3e540]

T'es sur que tu te trompes pas ? On parle bien de la 3) ? Si c'est oui, je pense qu'il faut prendre c = 0, et on revient à l'identité : a³ + b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
Bon si c'est ça jvais cherché encore un moment...

[invite2220c077]

Oui je parle de la 3), et non ce n'est pas ça ... Il faut réécrire l'équation sous la forme P(x,y) = C, où C est une constante. P(x,y), qui est un produit de deux polynômes, se détermine via cette identité Cet exercice est particulièrement difficile (car tiré des olympiades russes ...), ça l'est d'autant plus si on ne connaît pas cette identité ... Et même si on la connait, il faut faire preuve d'astuce pour voir comment s'en servir.

[invite29e3e540]

Lol ah oui effectivement c'est vraiment difficile, si tu ne m'avais pas parlé de l'identité j'aurai jamais trouvé... voilà comment j'ai fait :

 Cliquez pour afficher

Alors j'ai factorisé d'abord comme ça :

Et de là j'ai multiplier par 27 les deux membres (le premier facteur par 3 et l'autre par 9 car 9*3 = 27) et j'obtient :
Comme 1646 = 1 x 1646 = 2 x 823, il reste juste quelques système à résoudre.

Merci beaucoup, mais une question, d'où tu les sors ces identités lol ?
J'ai beau cherché sur internet je la trouve pas ;s

La 4) je l'ai déjà vu sur le forum aussi dommage lol, passons à la 5)

[invitec317278e]

enfin la difficulté ici est de trouver la formule de la somme des cubes...parce qu'une fois la formule donnée, c'est super facile...
Sauf bien sûr s'il y a beaucoup plus simple que la méthode que tu as donnée.

[invite29e3e540]

Je pourrais avec cette méthode ?
Je sais pas j'ai beau cherché je trouve pas plus simple....

[invite2220c077]

Salut,

Bah comme je l'ai précisé, c'est un exercice des Olympiades, et les Olympiades requièrent des identités de ce style parfois ... Cette identité est un "classique" aux Olympiades, comme l'identité de Sophie-Germain etc ...

Cette méthode a l'avantage de fonctionner si on remplace par . Une autre méthode qui fonctionne seulement sur :

Par hypothèse , donc . On peut donc supposer . On réécrit l'équation comme suit :

Or , donc

On traite ensuite les 6 cas possibles.

[invite29e3e540]

Ok...
Lol, la 5) est un peu trop dur je pense...
Mais je cherche toujours, je me demande bien s'il faut essayé de trouver d'autres valeurs qui sont solutions ...

[invite29e3e540]

Bon la 5), je trouve pas de points de départ, j'ai essayé la récurrence et quelques autres trucs mais jamais ce qui permet de conclure...

Alors voilà pour la 6), j'ai fait de deux façons et je suis pas sûr que l'on puisse raisonner comme ça...

Méthode 1 :

 Cliquez pour afficher

Par l'utilisation des congruences modulo 11.
L"égalité se réécrit comme ça :
Modulo 11 les puissances 5ème sont congrus à 0 1 ou 10 et n'est jamais congrus a 0,1 ou 10 modulo 11, il n'y a donc pas de solutions à cette équation.

Est-il possible de raisonner comme ça ?

Méthode 2 :

 Cliquez pour afficher

On factorise directement on a
De là on teste tous les cas possible : 4 = 1*4 = 2*2=4*1 et les négatifs...
On trouve aucune solutions

C'est possible de raisonner comme ça ?

Pour la 2ème méthode je pense que c'est faux, puisque si on fait la même chose avec l'équation , on trouve aucunes solutions alors que l'on a bien la solution x=y=2.

Merci d'avance.

PS : Un indice pour la 5) ?

[invitec317278e]

La méthode 2 est fausse : en ayant du x à la puissance 5/2, tu perds l'assurance d'avoir des entiers...
Or, 4 se décompose via la décomposition en facteurs premiers uniquement si les facteurs sont des entiers...