Ensembles et applications MPSI

[invite2d8f02e5]

Bonjour

J'aurai besoin d'aide pour un exercice.

Exercice: Soient E,F et X 3 ensembles et f: E->F une application. L'ensemble X est supposé non vide et on note F l'application:
E^X->F^X
h->f o h


1) Montrer que si f est injective, alors F l'est aussi (indication: on pourra raisonner par l'absurde et utiliser que si deux fonctions h1 et h2 de E^X sont distinctes, alors il existe x appartenant à X tel que h1(x) est différent de h2(x).

2) Démontrer la réciproque (indication: on pourra raisonner par l'absurde et utiliser deux fonctions de E^X h1 eth2 constantes.


Nous sommes plusieurs à nous casser la tête sur cet exercice toute la soirée, je viens donc vous demander un petit coup de main.

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Il suffit d'utiliser les définitions :
et continuer en utilisant l'injectivité de .

La réciproque se traite avec des moyens aussi économiques (surtout avec l'indication qui évite d'avoir à réfléchir).

[invite9c9b9968]

Bonsoir,

Qu'as-tu essayé de faire ? Au passage les indications données sont un peu foireuses, aucun raisonnement par l'absurde n'est nécessaire.

La première question est une application directe de la définition de l'injectivité.

La seconde question demande un peu plus de réflexion, ceci dit une partie de l'indication est utile (en fait elle donne la réponse - bizarre pour un exercice de MPSI ! C'est trop guidé je trouve...)

EDIT : grillé par un dieu

[invite57a1e779]

en fait elle donne la réponse - bizarre pour un exercice de MPSI ! C'est trop guidé je trouve...

Les MPSI ne sont plus ce qu'ils étaient, mon bon monsieur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2d8f02e5]

Merci pour vos réponses, mais la question 2 n'a pas l'air si évidente.

Quelqu'un a trouvé cela, est ce que ça vous paraît convenable:

On pose h1(x)=a et h2(y)=b, a et b constantes.

Soient a et b appartenant à E:

f(a)=f(b)
implique: foh1(x)=foh2(x)
implique: x=y
implique: h1(x)=h2(y)
implique: a=b

donc f est injective.

[invite57a1e779]

f(a)=f(b)
implique: foh1(x)=foh2(x)
implique: x=y

Ces deux implications me paraissent tomber du ciel, ou vues dans une boule de cristal ; en tout cas, je ne les comprends pas.

[invite2d8f02e5]

Ben f o h est injectif d'après l'hypothèse.

[invite57a1e779]

Ce n'est pas qui est injectif, mais , et n'est pas , mais .

[invite9c9b9968]

Bonjour,

Ceci dit c'etait bien parti (mais a partir de "implique x=y" ca se gate - d'ailleurs y c'est quoi ?)
.

Si tu as f o h1(x) = f o h2 (x) pour tout x, sachant l'application F (au passage tu aurais du l'appeler autrement il y a confusion de notation avec l'ensemble F...) injective, que peux-tu dire sur h1 et h2?

Ensuite, qu'est ce que ca implique sur a et b ?

[invite2d8f02e5]

J'ai juste mis y pour ne pas confondre avec x, mais c'est vrai qu'il aurait fallut laisser x.

Si on a f o h1(x) = f o h2 (x) pour tout x, peut-on dire que h1 et h2 sont également injectives ?

[invite9c9b9968]

Hello,

J'ai juste mis y pour ne pas confondre avec x, mais c'est vrai qu'il aurait fallut laisser x.

Ce qui te montre bien que ton raisonnement est absurde puisque tu aurais abouti a x=x

Si on a f o h1(x) = f o h2 (x) pour tout x, peut-on dire que h1 et h2 sont également injectives ?

Non. Par contre sachant l'application F injective, que peux-tu dire sur h1 et h2 ? La je te pose une question evidente, il suffit d'appliquer la definition de l'injectivite, en te rappelant que F agit sur des fonctions.

[invite2d8f02e5]

h1 = h2 et donc a=b, et donc f injective ?