"Récurrence" sur R

[invite61d256ed]

Bonjour,

Est ce que vous avez déjà entendu parler de récurrence sur R ?
Le mot est mal adapté (pas de notion de successeur dans R) mais un
principe similaire à la récurrence sur N du genre:

On démontre que pour tout x appartenant à [0, 1[, P(x).
Ensuite on montre que pour tout x dans R+, P(x)=>P(x+1).
On a alors que la propriété est vraie sur R+.

Mais bon,je pense pas qu'un tel principe soit très utile en pratique...
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[invitec317278e]

Salut,

il arrive effectivement que cette méthode puisse servir. J'ai par exemple le souvenir de m'en être servi un jour sur un théorème en relation avec la fonction gamma d'euler. Après, faut-il l'élever au rang de méthode réellement utile, c'est autre chose...

[KerLannais]

Salut,

Effectivement, il certainement pas très utile même s'il existe peut-être des démo qui utilise ce principe, en plus, puisqu'il est totalement évident il n'a pas spécialement besoin de porter un nom. Par contre il existe une autre notion de récurrence sur R qui elle est beaucoup plus utile et qui elle est utilisée assez souvent pour l'étude qualitative d'équation différentielles. Cela s'appelle la récurrence connexe. L'idée est simple, on ne montre pas un principe d'hérédité du type, si la propriété est vraie pour le réel x alors elle est vraie pour le suivant puisqu'il n'y a pas de réel suivant comme tu l'as fait remarquer. Par contre on montre que si la propriété est vrai pour un réel x alors elle est vraie sur un voisinage de x (les réels " à coté" de x, souvent ce qui nous intéresse ce sont les réels "à droite" mais de toute façon cela revient au même). Autrement dit on montre que l'ensemble P des réels pour lesquels la propriété est vraie est ouvert. L'initialisation consiste naturellement à montrer que l'ensemble P est non vide. Seulement ce n'est pas suffisant. On imagine sans peine que, le fait que le fait que P soit non vide nous permet de choisir un x0 tel que P(x0), et le fait que P soit ouvert permet de trouver x1>x0 tel que P(x1) et P(x) pour x0<x<x1, on peut continuer sur la droite et trouver un x2 et ..., on peut aussi aller à gauche et trouver x(-1), x(-2) ... mais le problème est qu'une suite de réels strictement croissante ne tends pas forcément vers l'infini (et idem une suite de réels strictement décroissante ne tend pas forcément vers moins l'infini). Ainsi il se peut très bien que notre suite xn reste majorée mais par contre dans ce cas on sait quelle converge vers une certaine limite y mais rien ne nous permet d'affirmer que
1- P(y) est vraie
2- que l'on puisse continuer après P(y)

d'où l'idée de rajouter la condition: il faut que P soit fermé, comme ça on déduit que P(y) est vrai et puisque P est ouvert on peut continuer à droite de y. Note que si on impose pas P fermé ce principe de récurrence est trivialement faux, il suffit de considérer la propriété P: "être strictement compris entre 0 et 1" qui n'est clairement pas vérifiée pour tout les nombres réels et qui pourtant verifie que P n'est pas vide et ouvert. Tu me diras, certe on continue après y, on commence une nouvelle suite qui peut encore converger, on continue après sa limite et ... et si cela se produit indéfiniment on est pas rendu Mais le fait est que cette récurrence marche pour la simple et bonne raison que les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de R sont l'ensemble vide et R tout entier. Puisque P est ouverte et fermée et non vide c'est forcément que P=R.

Le nom de cette récurrence vient simplement du fait qu'elle se généralise à n'importe quel espace topologique connexe. Puisque par définition un ensemble topologique est connexe que si ses seules parties à la fois ouvertes et fermées sont le vide et lui même. Pour un ensemble topologique non connexe, une propriété dont le P est ouvert et fermé s'étendra (par effet "tache d'encre") à toute composante connexe telle que la propriété soit vraie en un point de cette composante.