Représentation adjointe d'un groupe et d'une algèbre !

[invite84eba484]

Bonjour bonjour,

Alors voila mon problème, on définit la représentation adjointe d'un élément d'une algèbre par : ad : X--->[X,Y] avec X et Y des élements de mon algèbre, jusque la ça vas.

Ensuite on peut définir la représentation adjointe d'un élément d'un groupe par Ad : R-----R^(-1)XR avec R un élément de mon groupe et X un élément de l'algébre du groupe !

Bon ben cette derniere définition je ne la comprend pas du tout !

Pour mettre les chose au clairs prenons un exemple avec SU(2),

Pour trouver ad : X---->[X,Y] ou X et Y appartiennent a su(2) ça vas,
mais comment trouver la représentation adjointe de SU(2) ??

Pour info la question a laquelle je voudrais répondre c'est : La représentation adjointe de SU(2) est réelle mais comme je sais pas comment trouver la représentation je peut pas dire si elle est réelle ou pas lol !!

J'attaque donc le probléme a la racine et j'essaye donc de combler cette lacune sur les représentation adjointe de groupe définit par Ad: R---->R^(-1)XR !!

si vous pouviez m'expliquer en quelques mot ce serai sympa a vous merci de votre écoute (lecture^^)
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[invitebe0cd90e]

Salut,

deja il faut faire attention je ne crois pas qu'on parle vraiment de "representation d'un element", en te lisant on a l'impression que [X,Y] est l'image de X.

En fait, on associe a chaque element X de l'algebre A un endomorphisme de ladite algebre qu'on note ad(X), et la representation est le morphisme d'algebre A -> End(A) défini par X |--> Ad(X).

Ensuite, effectivement, on peut definir d'une facon generale une action adjointe d'un groupe G sur son algebre de groupe k[G], en associant a chaque element g du groupe l'automorphisme de k[G] (car cette fois c'est un automorphisme) Ad(g) |--> g^{-1}xg. La encore la representation proprement dite est le morphisme de groupe de G dans defini par g|-->Ad(g).

Je ne vois pas bien ce qui te gene dans cette definition, x, g et g^{-1} sont bien des elements de k[G] qui est une algebre donc leur produit est bien défini.

Ceci etant dit, attention a ne pas confondre deux choses : clairement tu travailles dans un contexte "Lie", et il se trouve que pour les groupes de Lie, l'algebre de groupe n'est pas vraiment pratique. C'est justement pour cette raison qu'on lui prefere l'algebre de Lie associée au groupe qui est beaucoup plus facile a manipuler.

Or, il existe aussi une action naturelle d'un groupe de Lie sur son algebre de Lie (et PAS son algebre de groupe) qu'on note aussi Ad et qui a une definition differente de celle que tu donnes. Moralement, l'action adjointe d'un groupe de Lie sur son algebre de Lie est la dérivée en l'identité de l'action adjointe de G sur lui meme (ou sur son algebre de groupe, ca revient au meme).

En resumé, si tu parles bien de l'action du groupe de Lie SU(2) sur l'algebre de Lie su(2), alors effectivement la definition que tu donnes n'a pas de sens et il faut prendre l'action adjointe au sens Lie.

[invite84eba484]

salut ,

Comme je te les déja dit je suis phycisien et pas matheux en plus je découvre a peine la théorie des groupes donc j'essaye de comprendre au maximum mais j'ai pas mal de lacunes notamment en algébre linéaire (ça remonte a quelques année les cours d'algèbre) bref tout ça pour dire que j'y vais plus a l'intuition et c'est pourquoi on dirais que je confond les notion (je les confond ? peut etre^^) .

j'ai pas encore regardé ce que c'était un automorphisme mais j'imagine que c'est une action du groupe dans le groupe (je regarderai en rentrant sur le net) et tu a raison on parle que de groupe de lie (et d'algèbre de lie ) donc , si je te donne le fil du cour peut etre que tu sauras mieux ou est mon souci :

On a linéarisé le groupe pour obtenir l'algèbre de lie , cette algèbre est muni du fameux crochet [x,y] et on dit : l'espace vectoriel engendré par les transformations infinitésimale dans SO(n) ou SU(n) etc est noté so(n) ou su(n) etc... Ensuite on dit qu'on peut représenter SO(n) ou SU(n) sur l'espace vectoriel so(n) ou su(n) etc.. par conjugaison :
Ad(R)X= RXR^(-1)

voila j'espere que je plus précis comme ça ^^

ensuite en linéarisant on obtient ad...

Alors voila ma premiere question un peu plus présice, Ici R est dans SO(n) par exemple et X dans so(n).
Ad(R)X appartient a so(n) bien sur non ? mais pour trouver ma représentation est ce que je dois faire comme avec les forme de killing , cad, prendre les vecteur de ma base so(n) qui serons X1, X2 etc et leurs appliqué dessus les éléments de SO(n) ? par exemple pour SO(2) ce sont les matrice avec les cos et les sin, je prend donc cette matrice 2*2 et son inverse et je l'applique sur les vecteurs X1,X2 etc comme la défintion de Ad me montre (par conjugaison ) ?

bon j'espere ne pas avoir dépasser le quotat de connerie

[invitebe0cd90e]

Comme je te les déja dit je suis phycisien et pas matheux en plus je découvre a peine la théorie des groupes donc j'essaye de comprendre au maximum mais j'ai pas mal de lacunes notamment en algébre linéaire (ça remonte a quelques année les cours d'algèbre) bref tout ça pour dire que j'y vais plus a l'intuition et c'est pourquoi on dirais que je confond les notion (je les confond ? peut etre^^) .

J'avais compris et il n'y avait pas de critique dans ce que je disais, il se trouve qu'on emploie le meme nom pour des choses legerement différentes mais provenant de la meme idée, donc c'est facile de s'y tromper.

j'ai pas encore regardé ce que c'était un automorphisme mais j'imagine que c'est une action du groupe dans le groupe (je regarderai en rentrant sur le net)

D'une facon generale un automorphisme c'est un morphisme (de groupe, algebre, etc.. suivant les cas) bijectif (inversible, si tu prefères). c'est en gros ici la traduction 1) du fait que l'image d'un element d'un groupe par un morphisme de groupe doit etre inversible 2) dans cette action les elements du groupe n'agissent pas seulement comme des applications lineaires, mais vraiment comme des morphisme d'algebre, donc c'est "plus" qu'une representation. Mais ne t'embrouille pas trop avec tout ca.

On a linéarisé le groupe pour obtenir l'algèbre de lie , cette algèbre est muni du fameux crochet [x,y] et on dit : l'espace vectoriel engendré par les transformations infinitésimale dans SO(n) ou SU(n) etc est noté so(n) ou su(n) etc... Ensuite on dit qu'on peut représenter SO(n) ou SU(n) sur l'espace vectoriel so(n) ou su(n) etc.. par conjugaison :
Ad(R)X= RXR^(-1)

voila j'espere que je plus précis comme ça ^^

Oui Du coup je reviens sur ce que j'ai dit :
- en toute rigueur la conjugaison que tu cites dans ton premier message n'est pas vraiment bien definie, il y a une definitinon formelle
- MAIS c'est vrai que j'avais oublié que tu travailles uniquement avec des algèbres/groupes de Lie de matrices, ce qui t'autorise a ecrire ca, donc matriciellement oui c'est bien la conjugaison.

Ad(R)X appartient a so(n) bien sur non ?

bien sur, c'est l'interet.

mais pour trouver ma représentation est ce que je dois faire comme avec les forme de killing , cad, prendre les vecteur de ma base so(n) qui serons X1, X2 etc et leurs appliqué dessus les éléments de SO(n) ? par exemple pour SO(2) ce sont les matrice avec les cos et les sin, je prend donc cette matrice 2*2 et son inverse et je l'applique sur les vecteurs X1,X2 etc comme la défintion de Ad me montre (par conjugaison ) ?

Essentiellement c'est ca, oui, mais notes que cette approche ne fonctionne que parce que tu as une facon générale d'ecrire un élément de SO(2) ce qui n'est pas le cas generalement pour un groupe de Lie, par exemple pour SO(3), et SO(n) ca devient plus difficile.

c'est la que tu comprends pourquoi les algebres de Lie sont beaucoup plus facile à mainpuler : ce sont des espaces vectoriels, deja, qui ont donc une structure lineaires, "facile", qui plus est de dimension finie. donc pour definir le crochet il suffit de le definir sur la base, pour donner une representation il suffit de regarder sur la base et de verifier que ca colle avec le crochet etc.. donc dans un cas particulier il n'y a qu'un nombre fini de calculs a faire, et la theorie generale est plus facile à ecrire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite84eba484]

re,

Oui t'inquiéte j'avais compris que tu me reproché rien j'ai dit ça plutot pour justifier mes incompréhension ou lacunes car j'ai vue que tu a comencé a employé des termes , certe que je connais de loin, mais que je ne maitrise pas, voila mais je trouve ça sympa que tu prenne le temps de m'expliquer.

Et oui dans mon premier post je me suis trompé, la bonne défintion de Ad est la seconde , la premiere on l'a vue mais dans un autre contexte, on ne parler pas des algèbre si je me souviens bien !

Ouai je crois que j'ai compris du coup seuleument je comprend pas trop ta remarque, on a souvent une facon générale d'écrire un élément de notre groupe de lie, par exemple pour SO(3) on prend une matrice 3*3 avec une colonne de (001) selon l'axe de rotation et pour SU(n) aussi je crois mais bon je vais y regarder de plus prés... Merci encore et a bientot sans doute ^^

[invitebe0cd90e]

re,

Oui t'inquiéte j'avais compris que tu me reproché rien j'ai dit ça plutot pour justifier mes incompréhension ou lacunes car j'ai vue que tu a comencé a employé des termes , certe que je connais de loin, mais que je ne maitrise pas, voila mais je trouve ça sympa que tu prenne le temps de m'expliquer.

'tention à l'orthographe et la grammaire quand même

Et oui dans mon premier post je me suis trompé, la bonne défintion de Ad est la seconde , la premiere on l'a vue mais dans un autre contexte, on ne parler pas des algèbre si je me souviens bien !

Oui, mais comme je le disais dans le cas des matrices les deux coincident (et au fond c'etait bien le but de la manoeuvre), par contre ce sont deux algebres différentes qui interviennent dans les deux cas.

Ouai je crois que j'ai compris du coup seuleument je comprend pas trop ta remarque, on a souvent une facon générale d'écrire un élément de notre groupe de lie, par exemple pour SO(3) on prend une matrice 3*3 avec une colonne de (001) selon l'axe de rotation et pour SU(n) aussi je crois mais bon je vais y regarder de plus prés... Merci encore et a bientot sans doute ^^

Peut etre, je n'ai pas vraiment reflechi a ca, mais disons que c'est particulier a SO(n), et que c'est en general tres difficile d'ecrire un element general d'un groupe, alors que c'est facile d'ecrire un element general d'une algebre (de Lie), et que c'est la tout l'interet de la chose.