Bonjour,
je ne comprends pas ce que veux dire mon titre. Je m'explique:
Disons qu'on se limite aux groupes de Lie. Avant la seconde quantification (je ne sais pas pour après, donc je spécifie "avant"), le groupe de Poincaré est spéfifié par son algèbre de Lie.
Puisque c'est un groupe à 10 paramètres, on trouve une représentation du groupe si on trouve dix objets qui satisfont à l'algèbre de Lie (10 matrices, 10 tenseurs, 10 fonctions...). Ceux-ci sont les générateurs.
Les générateurs ne sont pas "la représentation", mais ont une forme qui dépend de la représentation. En général, on associe 3 générateurs aux rotations spatiales (opérateurs de moment cinétique), 3 aux boosts (transfos de Lorentz propre), 3 pour les translations spatiales (opérateur impulsion) et 1 pour la translation temporelle (opérateur hamiltonien).
La représentation, si j'ai bien compris, c'est l'objet mathématique sur lequel agissent ces 10 générateurs. Si cet objet est un vecteur à 4 composantes, alors les générateurs doivent être quelque chose comme des matrices 4x4. Si cet objet est une fonction (vecteur colonne infini), alors les générateurs doivent être quelque chose comme des matrices infinies.
Donc, la représentation, si j'ai bien compris, c'est l'objet qui est transformé sous l'action du groupe.
Disons que je prends un spineur de Dirac à 4 composantes. Si chaque composantes est une fonction (un vecteur colonne infini), alors les générateurs doivent être des matrices 4x4, dont chaque élément est une matrice infinie.
Si je comprends bien, j'irais jusqu'à dire que c'est tout simple.
Mais (il faut qu'il y ait un mais sinon il n'y aurait pas de question). Après la deuxième quantification, le spineur de Dirac voit ses 4 composantes être promus à des opérateurs. Une composante est un opérateur de création d'un électron, une autre est un opérateur de destruction d'un électron, une autre est un opérateur de création d'un positron, la dernière étant l'opérateur de destruction du positron.
Revenons au groupe de Poincaré et à sa représentation. Si on change le statut des objets sur lesquels agissent les générateur, c'est-à-dire si les composantes du spineur de Dirac passent de fonctions à opérateurs, QUELLE MODIFICATION DOIT SUBIR LA FORME DES GÉNÉRATEURS?
Dans le cas du spineur de Dirac, il s'agissait (avec la 2e quantification) de matrices 4x4 dont chaque élément était une matrices infinie. On doit toujours avoir une matrices 4x4, mais SES ÉLÉMENTS DEVIENNENT QUOI?
Merci,
tout cela me turlupine l'esprit et m'empêche d'étudier...
Simon
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