Particules en tant que représentation d'un groupe

[Lévesque]

Bonjour,

je ne comprends pas ce que veux dire mon titre. Je m'explique:

Disons qu'on se limite aux groupes de Lie. Avant la seconde quantification (je ne sais pas pour après, donc je spécifie "avant"), le groupe de Poincaré est spéfifié par son algèbre de Lie.

Puisque c'est un groupe à 10 paramètres, on trouve une représentation du groupe si on trouve dix objets qui satisfont à l'algèbre de Lie (10 matrices, 10 tenseurs, 10 fonctions...). Ceux-ci sont les générateurs.

Les générateurs ne sont pas "la représentation", mais ont une forme qui dépend de la représentation. En général, on associe 3 générateurs aux rotations spatiales (opérateurs de moment cinétique), 3 aux boosts (transfos de Lorentz propre), 3 pour les translations spatiales (opérateur impulsion) et 1 pour la translation temporelle (opérateur hamiltonien).

La représentation, si j'ai bien compris, c'est l'objet mathématique sur lequel agissent ces 10 générateurs. Si cet objet est un vecteur à 4 composantes, alors les générateurs doivent être quelque chose comme des matrices 4x4. Si cet objet est une fonction (vecteur colonne infini), alors les générateurs doivent être quelque chose comme des matrices infinies.

Donc, la représentation, si j'ai bien compris, c'est l'objet qui est transformé sous l'action du groupe.

Disons que je prends un spineur de Dirac à 4 composantes. Si chaque composantes est une fonction (un vecteur colonne infini), alors les générateurs doivent être des matrices 4x4, dont chaque élément est une matrice infinie.

Si je comprends bien, j'irais jusqu'à dire que c'est tout simple.

Mais (il faut qu'il y ait un mais sinon il n'y aurait pas de question). Après la deuxième quantification, le spineur de Dirac voit ses 4 composantes être promus à des opérateurs. Une composante est un opérateur de création d'un électron, une autre est un opérateur de destruction d'un électron, une autre est un opérateur de création d'un positron, la dernière étant l'opérateur de destruction du positron.

Revenons au groupe de Poincaré et à sa représentation. Si on change le statut des objets sur lesquels agissent les générateur, c'est-à-dire si les composantes du spineur de Dirac passent de fonctions à opérateurs, QUELLE MODIFICATION DOIT SUBIR LA FORME DES GÉNÉRATEURS?

Dans le cas du spineur de Dirac, il s'agissait (avec la 2e quantification) de matrices 4x4 dont chaque élément était une matrices infinie. On doit toujours avoir une matrices 4x4, mais SES ÉLÉMENTS DEVIENNENT QUOI?

Merci,

tout cela me turlupine l'esprit et m'empêche d'étudier...


Simon
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[mariposa]

Bonjour,

je ne comprends pas ce que veux dire mon titre. Je m'explique:

Disons qu'on se limite aux groupes de Lie. Avant la seconde quantification (je ne sais pas pour après, donc je spécifie "avant"), le groupe de Poincaré est spéfifié par son algèbre de Lie.

Puisque c'est un groupe à 10 paramètres, on trouve une représentation du groupe si on trouve dix objets qui satisfont à l'algèbre de Lie (10 matrices, 10 tenseurs, 10 fonctions...). Ceux-ci sont les générateurs

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Le mieux pour comprendre est de raisonner sur des groupes discrets, néanmoins je reste sur ton exemple (a peu pres)
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Une representation d'un groupe de Lie c'est un jeu de matrices carrés (de dimension quelconque) mais en nombre infini.
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On peut fabriquer ce jeu infini de matrices à partir d'un nombre réduits qui sont les générateurs. Ces générateurs comme tu le dit obéis à une algébre de Lie que tu connais.
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Attention:

1- les tenseurs ne sont pas une representation du groupe, car les tenseurs sont d'abord des vecteurs. Si tu prend un tenseur (par exemple 5,5) c'est un vecteur qui sous-tend un espace vectoriel de dimension 25 qui par application des opérations de tous éléments du groupe va engendré une représentation du groupe de dimension 25.
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Pratiquement, pour construire une représentation d'un groupe on part d'un vecteur (au sens mathématique) et lui fait subir toutes les opérations du groupe.
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Le vecteur peut-être aussi bien un vecteur classique, un tenseur; un opérateur vectoriel (les fameux opérateurs tensoriels irrecductibles) des matrices (par exemple les matrice de Pauli)

Les générateurs ne sont pas "la représentation", mais ont une forme qui dépend de la représentation. En général, on associe 3 générateurs aux rotations spatiales (opérateurs de moment cinétique), 3 aux boosts (transfos de Lorentz propre), 3 pour les translations spatiales (opérateur impulsion) et 1 pour la translation temporelle (opérateur hamiltonien).

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Les générateurs te permettent dans le cas des groupes de Lie de fabriquer par exponention les éléments du groupe.
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Si A est un générateur et a la variation d'un paramêtre
Le representant du groupe c'est

; exp (i.a.A)

qui agissant sur un vecteur (au sens large) engendre la matrice representative associé au paramêtre a.

Si cet objet est un vecteur à 4 composantes, alors les générateurs doivent être quelque chose comme des matrices 4x4. Si cet objet est une fonction (vecteur colonne infini), alors les générateurs doivent être quelque chose comme des matrices infinies.

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Si tu as un vecteur à 4 composantes tu engendreras un jeu de matrices 4.4 qui sont une representation du groupe.
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Si tu as 1 fonction tu engendreras un jeu de matrice de dimension &.1 qui est une representation du groupe.

Donc, la représentation, si j'ai bien compris, c'est l'objet qui est transformé sous l'action du groupe.

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L'action du groupe sur l'objet donne pour résultat une representation. L'objet engendre la representation, mais l'objet n'est pas la representation. on dit que l'objet sous-tend la representation.

Disons que je prends un spineur de Dirac à 4 composantes. Si chaque composantes est une fonction (un vecteur colonne infini), alors les générateurs doivent être des matrices 4x4, dont chaque élément est une matrice infinie.

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Le spineur de Dirac va engendré sous l'effet des transformations de lorentz un jeu de matrice 4.4 qui est une representation irréductible du groupe de Lorentz SO(3,1). Donc le spineur de Dirac sous-tend la representation. Hélas par abus de langage on dit que le spineur est une representtion irreductible, ce qui strictement est faux.

Si je comprends bien, j'irais jusqu'à dire que c'est tout simple.

Mais (il faut qu'il y ait un mais sinon il n'y aurait pas de question). Après la deuxième quantification, le spineur de Dirac voit ses 4 composantes être promus à des opérateurs. Une composante est un opérateur de création d'un électron, une autre est un opérateur de destruction d'un électron, une autre est un opérateur de création d'un positron, la dernière étant l'opérateur de destruction du positron.

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La seconde quantification ne change rien. Car la question est de savoir comment les choses se tranforment dans une opération de symétrie (la philosophie est la même que les tenseurs dans un changement de base)
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Attention:
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1- Un jeu d'opérateurs, bien que représentés par des matrices sont des choses qui permettent d'engendré une representation du groupe. Autrement dit les opérateurs sont considérés comme des vecteurs qui sous-tendent une represention. C'est important a comprendre pour piger ce qu'est un opérateur tensoriel irreductible et plus largement l'algébre de Pacah.
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2- Dans le contexte des groupes de lie il se fait que les générateurs du groupe de Lie forment un espace vectoriel (puisque c'est une algébre). on peut donc a partir d'eux fabrique une represention du groupe de dimension égal au nombre de générateurs. cette representation s'appelle la representation adjointe, elle est irreductible et peut se calculer a partir des seuls coeedficients de struture de l'algébre de Lie. Cette representation est tes importante puique c'est elle qui permet de construire les groupes de jauge. par exemple pour SU(3) on a 8 générateurs donc un vecteur à 8 composante qui sous-tend la represention 8. les 8 champ de gluons. C'est donc un vecteur. mais c'est aussi un opérateur qui agira sur les quark de savoeur qui elles sous-tendent une represention irrecductible 3.

[Lévesque]

Ok.

Donc, la représentation du groupe de Poincaré, c'est l'infinité de matrices (à peu de choses près), lesquels peuvent toutes être générés par les 10 matrices qu'on choisi comme base : les générateurs.

Prenant encore par exemple le spineur de Dirac, celui-ci sous entend une représentation, lequelle est l'infinité de matrices 4x4 qui peuvent toutes être exprimés comme la somme des 10 matrices de base (les générateurs).

Dans l'expression "une particule est une représentation irréductible d'un groupe", si elle dit quelque chose de vraie, c'est qu'une particule est une représentation d'un groupe.

Q1: Donc, la particule, c'est l'ensemble des matrices infinies?

Donc le spineur de Dirac sous-tend la representation. Hélas par abus de langage on dit que le spineur est une representtion irreductible, ce qui strictement est faux.

Ceci répond-il à ma question Q1 par non?

Donc, une particule n'est pas une représentation?

Dans quel sens utilisent-on alors l'expression : "une particule est une représentation irréductible d'un groupe"?

J'aimerais bien si on pouvait m'aider à trouver à quel concept mathématique correspond, finalement, la particule. Si ce n'est pas la représentation irréductible du groupe de Poincaré, c'est quoi?

Le spineur de Dirac va engendré sous l'effet des transformations de lorentz un jeu de matrice 4.4 qui est une representation irréductible du groupe de Lorentz SO(3,1). Donc le spineur de Dirac sous-tend la representation. Hélas par abus de langage on dit que le spineur est une representtion irreductible, ce qui strictement est faux.

Je suis vraiment perdu. La particule, c'est le spineur de Dirac? C'est l'ensemble des matrices? C'est l'état de Fock?

Merci, c'est gentil de m'aider

Simon

[mtheory]

Je vais essayer quelques petites réflexions.

A l'origine les groupes de Lie sont une théorie pour classifier les équations différentielles et déterminer si certaines sont intégrables par un facteur intégrant.
Pour ce faire on cherchait à limiter la forme de relation fonctionnelle f(x,y),f(x,y,y') etc...par des propriétés d'invariances par des transformations analytiques données.
On trouve alors qu'il y a une base de relations fonctionnelles iréductibles sous un groupe dont toutes les autres fonctionnelles sont des fonctions.

Dans un schéma quantique ou relativiste l'idéal est donc de déterminer des formes de relations fonctionnelles entre les grandeurs physiques qui satisfont l'invariance selon le groupe de Poincaré et l'exigence que [q,p]=ih soit un invariant canonique.
La surprise c'est que ces conditions restreignent beaucoup la forme générale des équations possibles.
Comme on ne sait pas/comprends pas très bien la forme et la signification de la quantification tout court ou en plus relativiste des phénomènes on se rabat sur un noyau solide et un moyen de restreindre les possibles.
Ce noyau dur c'est justement la théorie des groupes qui permet en plus d'avoir des informations quelque soit le système de coordonnées utilisés pour décrire une relation entrre grandeur physique.
Donc une particule en quantique/relativité c'est une certaine forme de relation structurelle entre de grandeurs observables avec des invariants associés.

Si je prends l'exemple des formes quadratiques le discriminant est un invariant de la forme si je me souviens bien,il ne dépend pas du système de coordonnée et je crois qu'avec un autre il caractérise plus ou moins à quel type de conique j'ai affaire (je ne suis plus sûr )

Donc,en tout cas c'est ma lecture,on caractérise les événements quantiques associés par correspondance à des particules classiques par des représentations irréductibles donc des classes d'équations sur un espace donné.
Le spin et la masse sont alors les analogues des invariants des formes quadratiques d'une conique donnée.
Bon,ça je répète bien c'est ce que je crois comprendre et c'est flou et assez peu rigoureux.
Je crois quand même que ça peut contribuer au problème un petit peu si j'ai raison.

Je suis encouragé par l'idée de Heisenberg comme quoi une particule c'est au fond une symétrie des grandeurs observables (il a dit un truc comme ça).

Particules et ondes sont alors des concepts émergeants des relations possibles entre événements du monde,pas des concepts premiers.

Tout comme selon Klein,une géométrie c'est d'abord un groupe et pas un ensemble de points spatiaux même si bien sûr ils ont une importance forte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtheory]

En plus "short",pour la géométrie dans le plan,le truc de base invariant par translation c'est la droite et par rotation c'est le cercle.
Avec ça tu construis la géométrie en gros.
En plus un point c'est une intersection de droite,donc soit tu pars des points et tu construis des droites et des cercles soit tu pars directement des droites et des cercles et tu retrouves les points.

(Remarque au passage,twistor et espace-temps)

[mariposa]

Donc, une particule n'est pas une représentation?

Dans quel sens utilisent-on alors l'expression : "une particule est une représentation irréductible d'un groupe"?

Representation d'un groupe


Un groupe est complétement défini par sa table de multiplication.

Une represention d' un groupe de N éléments c'est un ensemble de matrices qui a chaque élément du groupe fait correspondre 1 matrice.Il y a donc N matrices.
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Le jeu de matrices doit respecter la table de multiplication du groupe. La dimension des matrices peut-être quelconque.
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Pour les groupes continus (ceux de Lie) une represensation c'est un ensemble inifini de matrices (de dimension quelconque). La table de multiplication c'est l'algébre de Lie du groupe.

Un vecteur engendre (sous-tend) une representation.
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Si maintenant on prend un vecteur de dimension M et que l'on fait agir les N éléments du groupe on va fabriquer N matrices de dimension M. Le vecteur engendre une representation du groupe.
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Hélas par abus de langage, par laxisme, presque tout le monde (moi compris) dit que le vecteur M est une representation du groupe. il faut se méfier de tout le monde (moi compris).
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Pour prendre l'exemple d'un quadrivecteur solution de l'équation de Dirac, le quadrivecteur par application des transformations de lorentz va engendre une representation (irrecductible) du groupe de lorentz. Par négligeance on dira que le quadrivecteur est une representation, mais c'est strictement faux.
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Il se fait que le quadrivecteur de Lorentz est composéé de deux 'moitiés' 4 = 2 + 2 .Chacune d'elle va engendré 2 representations irrectuctibles de SU(2). Les 2 representations sont inéquivalentes. chaque moitié du quadrivecteur represente une particule (la particule et l'antiparticule). Les 2 composantes de la particule sont les composantes du spin.
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En résumé un ensemble de particules sous-tend une representation d'un groupe. Hélas encore une fois on dira qu'une particule est une representionn d'un groupe, ce qui est faux.
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Un exemple classique est celui du neutron et du proton. Si on néglige l'interaction électromagnétique on a un vecteur à 2 composantes qui va engendrer une represention irrecductible de SU(2). C'est pourquoi par analogie avec le spin on va attribuer aux 2 "particules un spin que l'on appelera iso-spin pour ne pas confondre avec le vrai spin..
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Toujours par abus de langage on dira que le doublet de nucleon est une represention du groupe SU(2) iso-spin au lieu de dire engendre ou sous-tend.

[chaverondier]

Les générateurs ne sont pas "la représentation", mais ont une forme qui dépend de la représentation

Les générateurs d'un groupe de Lie sont une base de son algèbre de Lie (on dit parfois générateurs infinitésimaux car un groupe de Lie est l'exponentielle de son algèbre de Lie). Par abus de Langage, on appelle aussi générateurs, les générateurs de l'algèbre de Lie d'un autre groupe qu'on a mis en correspondance via un homomorphisme (voir plus bas en quoi consiste cette correspondance)

La représentation [du groupe de Poincaré], si j'ai bien compris, c'est l'objet mathématique sur lequel agissent ces 10 générateurs.

En fait, sur ce sujet, les désignations sont ambigues et sèment la confusion. Les objets sur lesquels agit le groupe sont effectivement (parfois) appelés représentations du groupe mais en réalité ce sont les objets de l'espace de représentation du groupe.

Une représentation (linéaire) du groupe de Poincaré est, en réalité, un homomorphisme qui envoie le groupe de Poincaré dans le groupe linéaire qui agit sur un espace vectoriel choisi comme espace de représentation du groupe de Poincaré. Pour ajouter à la confusion, les éléments de ce goupe linéaire sont souvent, eux aussi, appelés représentation du groupe. Parfois, ce sont les matrices représentant (dans une base) les éléments de ce groupe linéaire que l'on qualifie de représentation. Autant dire que pour s'y retrouver ce n'est franchement pas facile.

Cet homomorphisme est encore appelé action du groupe de Poincaré sur son espace de représentation car il permet de faire agir (par homomorphisme interposé) tout élément du groupe de Poincaré sur son espace vectoriel de représentation.

D'une façon générale, il existe une représentation linéaire intrinsèque d'un groupe de Lie. Il s'agit de la représentation coadjointe de ce groupe dans son espace de moments, espace de moments aussi appelé espace des torseurs du groupe (il s'agit de l'espace dual de l'algègre de Lie du groupe).

Disons que je prends un spineur de Dirac à 4 composantes. Si chaque composante est une fonction (un vecteur colonne infini), alors les générateurs doivent être des matrices 4x4, dont chaque élément est une matrice infinie.

Commençons d'abord par les spineurs de spin 1/2. Ils engendrent l'espace de représentation 2D de deux représentations irréductibles inéquivalentes (et bivaluées (1)) du groupe de Lorentz SO(1,3) [2].

Il s'agit de 2 représentations linéaires de dimension finie mais non unitaires de ce groupe (fatalement puisque le groupe de Lorentz n'est pas compact). En réunissant ces deux représentations pour les faire agir conjointement sur l'espace de représentation 4D formé des spineurs de Dirac (les bispineurs), on obtient une représentation réductible du groupe de Lorentz, mais irréductible du groupe de Lorentz"+"la symétrie P.

Les bispineurs de Dirac représentent donc une même particule puisque l'action du groupe de Lorentz (+ la symétrie de parité) sur cet espace 4D de représentation (à 2 feuillets je suppose à cause de l'ajout de P) permet d'envoyer n'importe quel vecteur de cet espace en coincidence avec n'importe quel autre.

Voilà qui permet de classer tous les éléments appartenant à cet espace de représentation dans une même catégorie (une orbite de ce groupe). On considère donc qu'ils modélisent différents états d'une même particule. C'est comme quand on superpose 2 carrés l'un sur l'autre grâce à l'action du groupe d'Euclide 3D. Cette possibilité de superposition prouve qu'il s'agit bien de la même "particule" (un carré) dans 2 "états" (2 positions) différent(e)s.

Si l'action d'une représentation irréductible du groupe sur son espace de représentation est libre et génératrice, cet espace de représentation devient un espace principal homogène du groupe. On peut alors quasiment identifier le groupe à la (catégorie de) particule(s) représentée(s) par cet espace. Comme les représentations irréductibles sont des représentations qu'on ne peut pas scinder en deux représentations de dimension inférieure, on dit que la particule en question est élémentaire. BC

(1) bivaluée car, comme SO(3), SO(1,3) est doublement connexe (et non pas simplement connexe). Il s'agit donc en fait de représentation 2D de SL(2,C) (le revêtement universel de SO(3,1)) dans l'espace 2D des spineurs de spin 1/2.

[2] Un soupçon de théorie des groupes: groupe des rotations et groupe de Poincaré, Bertrand Delamotte
http://cel.ccsd.cnrs.fr/cours/cel-1/cel-1.html

Ps : j'espère ne pas avoir dit trop de bêtises, car je maîtrise vraiment très très mal les spineurs de Dirac.

[Lévesque]

Une représentation (linéaire) du groupe de Poincaré est, en réalité, un homomorphisme qui envoie le groupe de Poincaré dans le groupe linéaire qui agit sur un espace vectoriel choisi comme espace de représentation du groupe de Poincaré.

Tout part du "choix" de l'espace vectoriel?

Pour ajouter à la confusion, les éléments de ce goupe linéaire sont souvent, eux aussi, appelés représentation du groupe.

Vous voulez dire les matrices?

D'une façon générale, il existe une représentation linéaire intrinsèque d'un groupe de Lie. Il s'agit de la représentation coadjointe de ce groupe dans son espace de moments, espace de moments aussi appelé espace des torseurs du groupe (il s'agit de l'espace dual de l'algègre de Lie du groupe).

c'est ici que mon cerveau s'éteint.

Commençons d'abord par les spineurs de spin 1/2. Ils engendrent l'espace de représentation 2D de deux représentations irréductibles inéquivalentes (et bivaluées (1)) du groupe de Lorentz SO(1,3) [2].

Deux représentation SU(2)? Les spineurs qui engendre ces représentations sont le spineur de Weyl gauche et le spineur de Weyl droit? Je demande juste pour me retrouver dans ce que j'ai appris.

Il s'agit de 2 représentations linéaires de dimension finie mais non unitaires de ce groupe (fatalement puisque le groupe de Lorentz n'est pas compact).

Wigner...

En réunissant ces deux représentations pour les faire agir conjointement sur l'espace de représentation 4D formé des spineurs de Dirac (les bispineurs), on obtient une représentation réductible du groupe de Lorentz, mais irréductible du groupe de Lorentz"+"la symétrie P.

Justement, parce que sous parité un spineur de Weyl droit devient un spineur de Weyl gauche et vice versa, donc les spineurs ne peuvent pas engendrer une représentationde la parité.

Les bispineurs de Dirac représentent donc une même particule puisque l'action du groupe de Lorentz (+ la symétrie de parité) sur cet espace 4D de représentation (à 2 feuillets je suppose à cause de l'ajout de P) permet d'envoyer n'importe quel vecteur de cet espace en coincidence avec n'importe quel autre.

Vous voulez dire que l'action du groupe engendre l'espace vectoriel des bispineurs?

On considère donc qu'ils modélisent différents états d'une même particule.

Vous voulez dire que chaque bispineur (sur l'infinité disponible dans l'espace vectoriel) est un état d'une particule? Cela n'est pas très clair pour moi. Peut-être que le choix du bispineur n'est pas approprié. Prenons un champ scalaire réel (). Si on prend se champ dans un système de coordonnées, l'action de tous les éléments du groupe sur ce champ génère une infinité de champs scalaires. Cet ensemble de champ est notre espace vectoriel. Par exemple, chaque élément de cet espace (une combinaison linéraire infinie de champs, i.e. exprimée par une intégrale sur tout l'espace) représenterait l'état d'une particule (de spin nul). C'est ça? Mais si je 2-quantifie ce champ, il devient un opérateur, c'est-à-dire une combinaison linéaire d'opérateurs de création et de destruction. En quoi, dans ce cas, peut-on dire que le champ (en tant qu'opérateur) est un état de la particule? À ce moment, on lui associerait plutot un état d'excitation du vide?

Comme les représentations irréductibles sont des représentations qu'on ne peut pas scinder en deux représentations de dimension inférieure, on dit que la particule en question est élémentaire.

Je n'avais jamais vu ça comme ça... très intéressant à remarquer!


Merci!

Simon

[Lévesque]

A l'origine les groupes de Lie sont une théorie pour classifier les équations différentielles et déterminer si certaines sont intégrables par un facteur intégrant.
Pour ce faire on cherchait à limiter la forme de relation fonctionnelle f(x,y),f(x,y,y') etc...par des propriétés d'invariances par des transformations analytiques données.
On trouve alors qu'il y a une base de relations fonctionnelles iréductibles sous un groupe dont toutes les autres fonctionnelles sont des fonctions.

Je dois avouer que tout ça manque à ma formation. Tu pourrais m'aider à faire un pont avec ce que j'ai appris?
Par exemple, les équations différentielles en question, correspondent à quoi en théorie des champ? les équations du mouvement?
La forme de relation fonctionnelle serait lié à quoi en théorie des champs?
Une base de relation fonctionnelle, c'est quoi?

Peut-être qu'il me faudrait un cours complet, ou peut-être que c'est seulement un language avec lequel je ne suis pas familier...

À toi de voir

Simon

[Lévesque]

J'avais une question mais j'ai trouvé la réponse tout seul, alors si ça vous intéresse pas, ne lisez pas...

Sinon, ça donnait ça:
Pour débuter la construction de notre théorie, on a besoin de faire une hypothèse sur les symétrie de la nature. Par exemple, et seulement pour faire très simple, on pourrait supposer que la seule symétrie de la nature est l'invariance sous rotation. Mais cela sous-entends déjà une représentation, non?

Si je comprends bien, pour être logique (et ne considérant que la rotation pour faire simple), on doit

1. Supposer que la physique se déroule dans l'espace.
2. Supposer que nos lois soient invariantes sous rotation de l'espace.
3. Déduire l'algèbre de Lie du groupe des rotations.
4. Je viens de comprendre

Mon problème, c'est qu'on partait (pour l'exemple du groupe des rotations) de la représentation vecteur pour trouver le groupe. Là, je me disais, c'est con de faire ça, parce qu'on se force à trainer cela avec nous tout le temps.

Mais j'ai compris. La structure du groupe ne dépend pas de la représentation. On peut donc utiliser la représentation vectorielle si ça nous plait, c'est seulement un outil pour trouver l'aglèbre de Lie du groupe, laquelle au bout du compte ne dépend absolument pas de la représentation vectorielle!

C'est cool les groupes

[mtheory]

Je dois avouer que tout ça manque à ma formation. Tu pourrais m'aider à faire un pont avec ce que j'ai appris?
Par exemple, les équations différentielles en question, correspondent à quoi en théorie des champ? les équations du mouvement?
La forme de relation fonctionnelle serait lié à quoi en théorie des champs?
Une base de relation fonctionnelle, c'est quoi?

Peut-être qu'il me faudrait un cours complet, ou peut-être que c'est seulement un language avec lequel je ne suis pas familier...

À toi de voir

Simon

c'est moi qui ne suit pas suffisamment bon mais j'assume

Connais-tu le livre d'Ince sur les équations différentielles ?

Je vais essayer de préciser les choses.

Par exemple tu sais qu'une fonction symetrique par permutation est une fonction d'un nombre finis de fonctions symétrique de base ?(un truc dans le genre,je vais vérifier mes sources)

[Lévesque]

Par exemple tu sais qu'une fonction symetrique par permutation est une fonction d'un nombre finis de fonctions symétrique de base ?(un truc dans le genre,je vais vérifier mes sources)

N'oublie pas que j'ai une éducation nord-américaine...

[philou21]

Bonsoir
A lire votre intéressante discussion il me vient des doutes sur ce que je croyais connaître des groupes (ou plutôt du vocabulaire associé aux groupes)

Pourriez vous me dire si ce que je pense est exact :

1- un groupe n’a pas besoin de représentation.
2- Un espace de représentation est un espace vectoriel ou pourra agir mon groupe
3- Une représentation d’un groupe est l’ensemble des matrices qui « représente » le groupe dans cet espace.

Merci

[mtheory]

Mais j'ai compris. La structure du groupe ne dépend pas de la représentation. On peut donc utiliser la représentation vectorielle si ça nous plait, c'est seulement un outil pour trouver l'aglèbre de Lie du groupe, laquelle au bout du compte ne dépend absolument pas de la représentation vectorielle!

C'est cool les groupes

Voilà!! tu y es !en fait tu cherches des classes de transformations non linéaires de relations fonctionnelles mais il y en a plein et selon le système de coordonnées certaines sont les mêmes mais tu le voit pas directement.
Le gros truc c'est que quand tes transformations sont analytique il suffit de faire une transformation infinitesimale qui suffit pour caractériser les classes de transformations.
Or tu tombes sur des opérateurs infinitésimaux qui satisfont une algébre linéaire,du coup pour classifier inplicitement toutes tes transformation tu as établie un dictionnaire avec des matrices et là tu peux classifier ces matrices beaucoup plus facilement que toutes les transformations analytiques non linéaires concevables.
Et là tu vois que ce qui compte c'est la structure de groupe et son algèbre de commutateur avec les constantes de structures.
C'est ce qu'a fait Cartan pour la théorie des équations différentielles et EDP de Lie.
Donc que tu ai un polynome avec des transformation linéaire ou une équation différentielle compliquée ça exprime la même structure de groupe.
De plus quand tu as une équation différentielle linéaire elle posséde un espace linéaire de solution.
Si tu fais une transformation du système de coordonnées dans l'EOD ta solution qui est une superposition linéaire de solution de base se transforme en une autre solution comme un vecteur sous l'action d'une matrice dans l'espace vectoriel de solution de ton EOD linéaire.
Et là tu vois encore un lien avec la théorie de représentation linéaire d'un groupe.

[mtheory]

Lie et Cartan/Killing on fait pour les EDO et EDP ce que les gens ont fait avec la théorie algébrique des formes multilinéaires (ex Hilbert).
Si tu cherches une équation invariante par un groupe donné cette équation posséde des lois de conservations et des invariants donnés.
Inversement si tu a des lois de conservations et des symmétrie les groupes te fixe une forme générale d'équation qui respecteront ces invariants.
Comme la MQ est linéaire ça t'explique pourquoi les groupes y sont si important ainsi que leur puissance!

Ainsi si tu cherche un Lagrangien avec des lois de conservation fixées selon plusieurs groupes,hop il n'y a qu'un nombre fini de termes de base admissible selon la théorie des groupes.

[spi100]

La représentation, si j'ai bien compris, c'est l'objet mathématique sur lequel agissent ces 10 générateurs.

Ce que tu cites est une propriété du groupe de poincaré, et est une façon d'en construire ses représentations irréductibles. Si tu veux dépatouiller tout ça, AMHA il vaut mieux revenir aux définitions de base.

Une représentation linéaire d'un groupe est un homomorphisme avec un groupe de matrices carrées.
Ces matrices agissent sur un espace vectoriel E. Si l'ensemble des matrices de la représentation ne laissent aucun sous-espace invariant autre que le vecteur nul et l'espace E, alors la représentation est dite irréductible.

La structure des représentations irréductible est uniquement dictées par la structure du groupe. Par exemple pour SO(3) les dimensions des espaces irréductibles sont en l(l+1).

Dans le cas du groupe de poincaré, elles se caractérsent pas deux entiers m et s(s+1). Si on reconnait la masse et le spin, on est tenté d'assimiler une particule élémentaire à une représentation irréducible du groupe de poincaré. Mais attention, la réciproque n'est pas vraie : il y a des représentations irréductibles pour tout m et tout s(s+1), mais seules les particules de spin <=2 existent et on ne connait pas de particules de 500kg.

Je n'ai pas lu tout le thread, je m'excuse d'avance s'il y a des redites. hop que ça help.

[mtheory]

http://www.amazon.com/gp/reader/0486...48#reader-link


si tu peux le trouver en bibli c'est a " continuous transformation group"

[mtheory]

Soit F(x₁,x₂...x_n )

une fonction et G un groupe de transformations non linéaires analytiques x'_i=f(x₁,x₂...x_n,a_j) où a_j sont des paramètres.

Si la transformation est infinitésimale cela revient à avoir une série de générateurs linéaire de la forme U=

Pour prouver que F est invariant par G il suffit d'avoir UF =0 en générale (je simplifie quelques subtilités).

Ce qu'a démontré Lie c'est que F est une fonction du nombre fini de solutions v de :
Uv=0.

Avec une fonction symétrique par permutation tu as l'analogue,c'est une fonction de fonction symétrique élémentaire.
Quand c'est linéaire ça forme une base d'invariants.

[mtheory]

Avec une fonction symétrique par permutation tu as l'analogue,c'est une fonction de fonction symétrique élémentaire.
Quand c'est linéaire ça forme une base d'invariants.

http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_function

http://mathworld.wolfram.com/Fundame...Functions.html

[chaverondier]

La structure du groupe ne dépend pas de la représentation.

On peut même faire émerger une représentation linéaire d'un groupe de Lie du groupe lui-même (représentation coadjointe d'un groupe de Lie sur son espace de moments, c'est à dire sur le dual de son algèbre de Lie par exemple).

On peut aussi faire émerger la notion d'espace-temps muni d'une métrique directement d'une structure de groupe. Dans cette construction, on a quand même besoin de postuler l'existence d'un espace physique équipotent à IR^4, mais, cela fait, on peut définir l'action du groupe sur cet espace physique et la notion de "distance" en se servant du groupe de Poincaré numérisé (ou du groupe d'Euclide numérisé si on voulait un espace Euclidien 4D) (1).

On peut ainsi faire émerger l'espace-temps de Minkowski directement du groupe de Poincaré postulé comme groupe de symétrie des lois de la nature (2). BC

(1) au lieu de suivre le chemin inverse consistant à postuler d'abord la métrique puis à s'en servir comme base de départ pour définir le groupe qui la respecte (groupe d'isométries pour cette métrique).

(2) Avec quand-même une subtilité physique et mathématique non négligeable. Quand on part du groupe pour définir la distance, la distance est définie comme l'ensemble des orbites, sous l'action de ce groupe, des couples de points de l'espace physique (la distance est alors la classe d'équivalence des couples de points qu'on peut superposer par l'action du groupe).

Pour passer de cette notion de distance à la métrique (définie numériquement sur l'espace dit physique) on a besoin de définir la notion d'unité de longueur. On a donc besoin de compléter le groupe de Poincaré par les homothéties et de se servir de l'action de ce groupe plus gros sur l'espace physique pour comparer deux longueurs.

La subtilité réside dans le fait qu'on doit faire attention à ne pas exiger des phénomènes se déroulant dans l'espace physique, leur symétrie vis à vis de ce groupe plus gros (pas de symétrie d'échelle, car il existe une échelle privilégié : l'échelle de Planck). Pour exprimer la violation de cette symétrie par l'existence de l'échelle de Planck, on doit admettre qu'une des distances est une distance privilégiée et que tous les observateurs savent mesurer la longueur d'un objet par rapport à cette référence universelle (tout observateur, même isolé, sait mesurer sa taille par rapport à cet étalon universel, au lieu de savoir seulement mesurer sa taille par rapport à un autre observateur).

[Lévesque]

Bonsoir,

marci mtheory, j'ai ajouté le livre à ma WL. Aussi, je dois dire que je commence à voir ce que tu veux dire, mais je ne fais pas vraiment le lien avec, par exemple, le concept de particule. Est-ce que cela a un rapport avec les fonctions qui laissent invariantes l'action?

On peut même faire émerger une représentation linéaire d'un groupe de Lie du groupe lui-même

Ça avait déjà été dit plus haut mais, j'avais pas compris. Là, je dois dire que ça m'impressionne. Elle joue une rôle particulier en physique cette représentation?

On peut aussi faire émerger la notion d'espace-temps muni d'une métrique directement d'une structure de groupe [...] au lieu de suivre le chemin inverse consistant à postuler d'abord la métrique puis à s'en servir comme base de départ pour définir le groupe qui la respecte (groupe d'isométries pour cette métrique).

En géométrie différentielle, si je ne me plante pas (c'est très possible, Mme Durrer m'a lancé un cours de géo diff en plein figure, à titre d'introduction à son cours de relativité générale ), quand on connait la métrique, on connait tout. J'allais vous demander si l'inverse est vrai, c'est-à-dire connaître le groupe est-il suffisant pour dire qu'on connaît tout de la géométrie.

Mais je pense que vous répondez par la négative, à l'aide de trucs qui me dépassent un peu...


Simon

[mtheory]

Bonsoir,

marci mtheory, j'ai ajouté le livre à ma WL. Aussi, je dois dire que je commence à voir ce que tu veux dire, mais je ne fais pas vraiment le lien avec, par exemple, le concept de particule. Est-ce que cela a un rapport avec les fonctions qui laissent invariantes l'action?

Oui,oui déjà classiquement les groupes de Lie te permettent de classifier des équations différentielles,de déterminer des méthodes d'intégrations en fonction du type de symétrie de l'équation.Inversement si tu veux construire une équation différentielle avec des symétries données cela te donne des recettes.
Dans le cadre de la mécanique analytique cette théorie te permet de classifier des types d'équations de mouvement possibles.
Maintenant dans le cas quantique si tu découvres une particules avec des lois de conservations données,une fonction d'état Ipsi> alors UIpsi>=0 te permet de retomber dans la théorie que je t'ai esquisser précédemment.
Donc automatiquement tu sais que la fonction et l'équation de mouvement de l'état de la particules ne peut être qu'une fonction/être relié des/aux solutions de UIpsi>=0 où U est la transformation infinitésimal du groupe,c'est pour ça que toute la MQ c'est de la théorie des groupes déguisée.

bon

[mtheory]

Comme tu perds la notion de trajectoire de particule en MQ mais que tu dois rester en correspondance (principe) avec les équations de mouvement du système,c'est qu'au fond il ne doit rester que le groupe de symétrie de l'équation et sa représentation /réalisation linéaire avec une fonction d'état et une observable des phénomènes.
(doivent rester charge électrique,masse,spin etc...)

De même que tu balances l'espace et le temps pour l'espace-temps tu balances une notion absolu de particule/onde pour ne plus avoir qu'une équation entre observable des événements avec des lois de conservations données.

C'est pourquoi la notion d'état quantique te permet de traiter la supperposition du neutron et du neutron (ou kaons )par l'iso spin.
Là on a pas une fonction d'onde unifiant le principe de Fermat et Maupertuis mais un vecteur d'état des observables/événements/objet du monde.

Du coup au lieux d'avoir le problème d'un espace-temps 'postulé' et de particules formées de quoi ? tu as un shéma d'où et l'espace-temps et les 'particules' peuvent être déduitent et ça c'est beauccoup plus satisfaisant intellectuellement que deux postulats !

[Lévesque]

Je dois avouer qu'il y a beaucoup de ce que tu dis que je doit prendre comme vrai, parce que les liens qui existent dans ta tête ne se font pas dans la mienne... bientôt peut-être, quand j'aurai fini tous ces cours...

Si tu pouvais juste un peu me préciser ceci (c'est que ça m'intéresse beaucoup),

tu balances une notion absolu de particule/onde pour ne plus avoir qu'une équation entre observable des événements avec des lois de conservations données.

Tu pourais me donner un ptit exemple, juste pour que je puisse faire le lien tout seul?

tu as un shéma d'où et l'espace-temps et les 'particules' peuvent être déduitent et ça c'est beaucoup plus satisfaisant intellectuellement que deux postulats !

Ça aussi c'est pas très clair pour moi... désolé, je fais pas exprès de ne pas comprendre... Le schéma c'est la théorie des groupes? Quand tu dis qu'on peut en déduire l'espace-temps, c'est en utilisant le fait qu'un groupe de Lie est aussi une variété différentiable? Par exemple, utilisant le fait que les générateurs sont la base de l'espace tangent? Genre ce que fait Nakahara à la section 5.6? Par contre, pour dire qu'on en déduit les particules, il me semble qu'il y a un grand pas?

Il me semble que tu parles souvent du concept de "particule" en tant que "relation" entre des observables. Je me trompe? Je peux avoir des détails?

[Lévesque]

Autre question (c'est une attaque!!)

Pourquoi on ne retrouve pas toutes les représentations du groupe dans la nature? Si on postule que la nature a vraiment ces symétrie, alors toutes les représentations devraient être aussi valables?

Y a-t-il d'autres concepts, en plus des groupes et des symétries, qui viennent limiter les représentations possibles? [À part l'expérimentation].

Je veux dire, la théorie ne prédit pas quelles représentations se manifestent dans la nature, elle donne seulement une recette de représentations possibles... est-ce considéré comme un faiblesse?

MQ
(Monsieur Question)

[mtheory]

Je dois avouer qu'il y a beaucoup de ce que tu dis que je doit prendre comme vrai, parce que les liens qui existent dans ta tête ne se font pas dans la mienne... bientôt peut-être, quand j'aurai fini tous ces cours...?

Je suis désolé,beaucoup de chose sur ce sujet son qualitative dans ma tête et il n'est pas sur que ce ça soit vrai,je sais d'ailleurs que d'autres ne sont que des esquisses non rigoureuses.
Donc comme j'ai déjà dis, le problème viens entièrement de moi,je ne suis pas assez bon.
Il y a le fait aussi que j'ai souvent des difficultés à mettre les choses très précisément en forme .
Je te donne des choses qui pour moi ont été des clés m'ouvrant au bout d'un certain temps des perspectives.
Malheureusement, ça tient plus de balise pour localiser des endroits où des concepts sont engloutis que te donner les concepts eux mêmes

Je vais penser à reformuler tout ça d'une façon plus rigoureuse et digérable mais je ne garantie rien à cause du boulot que ça va me demander

[mariposa]

Autre question (c'est une attaque!!)

Pourquoi on ne retrouve pas toutes les représentations du groupe dans la nature? Si on postule que la nature a vraiment ces symétrie, alors toutes les représentations devraient être aussi valables?

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Bonjour Monsieur MQ
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Lorsque que tu as un groupe comme le groupe continu de translations, toutes les représentations ce ce groupe sont dans la nature. En effet les etats qui engendrent les representations irrecductibles du ce groupe sont les ondes planes exp(i.k.r).

Seulement ce groupe est pauvre parceque non contraignant. pour les mèmes raisons relativement au groupe de Poincaré les translations spatio-temporelles), toutes les masses sont autorisées, ce qui ne présentent aucun interet. Cela est du au fait que ces groupes sont abéliens.
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Toutefois c'est un peu mieux lorsque l'on travaille dans le sous-groupe des translations discretes. C'est le fondement de la théorie des bandes dans les solides et permet de prévoir une foultitude de choses par des seules considérations de groupe.
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En fait ce qui est contraignant ce sont les groupes abéliens. dans le cadre des particules élémentaires l'idéal serait d'avoir un seul groupe non abélien et que toutes les particules élémentaires soient contenus dans une seule est unique representation irreductible.
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Le modèle standart qui rassemble tous les faits expérimentaux des particules élémentaires est un monument à la gloire de la théorie des representations des groupes. Seulement ce n'est que le produit de 3 groupes. Il faudrait faire mieux.
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Une belle tentative a été le groupe SU(5) qui rassemble dans une même represention irreductible de SU(5) les 3 quark lcolorés + les 2 leptons de la même famille.
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Hormis que cela marche tres bien sur le papier il semble que ce ne soit pas la bonne direction. toutefois même si celui-là était validé par l'expérience il y aurait encore un défaut "esthétique". En effet la representation irreductible 5 serait repeter 3 fois qui correspond aux 3 familles. Il y a donc une levée de dégérescence Le réflexe serait de trouver un groupe encore plus large (un sur-groupe) dans lequel les 3 familles seraient contenuent dans une seule et unique representation irreductible. Et si possible la representation fondamentale.
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Moralité, pour representer un nombre fini de particules il faut essayer de trouver un groupe non abélien le plus large possible. Dans cette limite il reste comme parametre ajustable à l'expérience une constante de couplage, qui est un invariant du groupe (on l'appelle en théorie des groupes élément de matrice réduit) et une masse. Soient 2 parametres.

Je veux dire, la théorie ne prédit pas quelles représentations se manifestent dans la nature, elle donne seulement une recette de représentations possibles... est-ce considéré comme un faiblesse?

MQ
(Monsieur Question)

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Ca dépend ce que l'on appelle théorie.

Si quelqu'un par intuition pourrait affirmer quel est le bon groupe (voir-ci-dessus) on pourrait à partir d'un seule expérience (pour extraire la constante de couplage) prévoir toutes les sections efficaces de collisions de toutes les particules entre-elles. en fait c'est un plus compliqué car la constante de couplage dépend de tout ce qui ne dépend pas de l'énergie. Celle-ci dépend de q2. en fait on pourrait calculer sa dépendance en q2, au moins en théorie.
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Donc sous cet angle la théorie des groupes c'est à mettre aux fondements des choses, cad sur le même pied que les espaces de Hilbert. La théorie des groupes est vraiment predictive.
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il nr resterait plus qu'a transformer le LHC en piste cyclable sous-terraine!

[mtheory]

Autre question (c'est une attaque!!)

Pourquoi on ne retrouve pas toutes les représentations du groupe dans la nature? Si on postule que la nature a vraiment ces symétrie, alors toutes les représentations devraient être aussi valables?

Y a-t-il d'autres concepts, en plus des groupes et des symétries, qui viennent limiter les représentations possibles? [À part l'expérimentation].

Je veux dire, la théorie ne prédit pas quelles représentations se manifestent dans la nature, elle donne seulement une recette de représentations possibles... est-ce considéré comme un faiblesse?

MQ
(Monsieur Question)

,je le prends pas comme une attaque .
Ben c'est un peu comme si tu disais:
"Pourquoi je trouve pas toutes les constructions mathématiques possibles réalisées dans la nature" non ?
Ou pourquoi je trouve pas toutes les interactions avec des groupes de jauge SU(n) ?

Un exemple avec l'interaction faible,tu avais plusieurs formes de termes de couplage invariants de Lorentz possibles,couplage axial,scalaire etc...qui tous étaient en quelque sorte dans la base de représentation irréductible du groupe de Lorentz pour des relations fonctionnelles liées à des courants.
La nature a fait un choix,qu'est-ce qui motive ce choix?nous ne le savons pas.
En pire c'est ce qui se passe avec le Landscape en théorie des cordes.
Il y a plus de 10⁵⁰⁰ vides possibles correspondant à des groupes de jauge et des multiplets de particules possibles dans certaines représentations de groupes.
Selon Susskind il y a effectivement un multi Univers avec des Univers 'poches' où toutes ces possibilités sont réalisées.
Pour des gens comme Gross il doit y avoir un mécanisme non perturbatif qui sélectionne un seul ou très peu de vides possibles.
Selon les tenants du principe anthropique fort,quelque chose (but what) suppose que pour avoir la complexité et la conscience un seul shéma de loi de l'Univers (ou presque) est possible.

Bref c'est effectivement pas très satisfaisant,mais dans l'état c'est ce qu'on fait de mieux,trouver les formes mathématiques possibles préselectionnées par les données expérimentales et théoriques puis regarder lesquelles la Nature a effectivement choisies.

On voudrait bien en comprendre plus...

C'est ce que disait Einstein "Je ne suis pas intéressé par tel ou tel spectre,je veux savoir si 'Dieu' avait le choix en créant l'Univers,le reste n'est que détail"

Au passage,quand tu construis des théories de jauge et que tu les couples à des fermions, ça te pose des restrictions.
Par exemple certains représentations de groupes ne sont pas admises ou alors il faut introduire la représentation adjointe.
Tu as aussi des problèmes avec les anomalies.
Certaines lois de conservation classique sont détruites quand tu imposes aux équations de la théorie de respecter aussi les commutateurs de la MQ.
C'est souvent une catastrophe car tu rentres en conflit avec l'expérience.
Mais pas toujours!
Comme Adler Bell et Jackiw l'on découvert en résolvant l'énigme de la désintégration du;
Il y a mieux,les anomalies du modèle électrofaible sont exactement compensées par celles de la QCD.
C'est un gros point pour la cohérence du modèle standard.
Dans le cadre des cordes il se produit un phénomène similaire,si je me souviens bien c'est la seule façon d'unifier et de coupler les champs de jauge supersymétriques et la gravitation sans produire d'anomalies,c'est le fameux résultat de Green et Schwartz qui a focalisé l'attention sur les super cordes

[mariposa]

. en fait c'est un plus compliqué car la constante de couplage dépend de tout ce qui ne dépend pas de l'énergie. Celle-ci dépend de q2. en fait on pourrait calculer sa dépendance en q2, au moins en théorie.
!

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Errata il faut lire :

.. la constante de couplage dépend de tout ce qui ne dépend pas de la symétrie, c'est pourquoi c'est un invariant relativement au groupe considéré. (et non pas bien sur de de l'énergie).
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Désolé pour cette idiotie.

[Lévesque]

Bonjour,

Toutefois c'est un peu mieux lorsque l'on travaille dans le sous-groupe des translations discretes.

À ce moment, est-ce encore un groupe de Lie?

Donc sous cet angle la théorie des groupes c'est à mettre aux fondements des choses, cad sur le même pied que les espaces de Hilbert. La théorie des groupes est vraiment predictive.

Ça c'est certain! Mais bon, il faut trouver de l'imperfection quelque part, sinon les physiciens devront tous s'acheter une vélo et....

...transformer le LHC en piste cyclable sous-terraine!

Pour revenir à ma question plus haut. La renormalisation fixe une limite inférieur (arbitraire) à l'énergie des systèmes décrits (on met une borne arbitraire sur une intégrale), et donc on fixe la plus petite région d'espace-temps pouvant être décrite par notre théorie.

Voici ma question : comment concilier ça avec les groupes de Lie? Puisque les groupes de Lie supposent des transformations continues, l'effet de la renormalisation n'est-il pas (en principe) d'amener une description discontinue? Puisque c'est presque continue, ne pourrait-on pas affirmer que la description par les groupes de Lie est presque adéquate?

Merci!

MQ