Représentation triviale du groupe de Lorentz

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

l'algèbre d'un groupe de Lie s'écrit comme

où l'on reconnait les générateurs et les constantes de structure.

Dans le cas du groupe de Lorentz, on CHOISI la représentation triviale pour les scalaires, c'est à dire qu'on définit les générateurs 1x1 comme étant nuls. Mais, on pourrait aussi bien prendre les générateurs comme une matrice 1x1, et trouver qu'un scalaire est transformé en lui ajoutant une phase par la transformation de Lorentz.

Est-ce que quelqu'un sait pourquoi on choisi la représentation triviale, et quelle conséquence physique on aurait si on conservait la phase arbitraire dans le représentation 1x1?

Est-ce que cela a rapport avec le fait qu'un état physique est indistinguable à un facteur de phase près?

Merci,

Simon
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[invite8ef93ceb]

Oh!?

en passant, c'est en répondant à cette question qu'on peut dire ou non qu'un scalaire est invariant sous le groupe de Lorentz. Beaucoup d'entre vous écrivent souvent cette phrase, vous ne vous êtes jamais posé la question énoncé dans le dernier post?

Merci de m'aider, parce que moi je me la pose

Simon

[invite8c514936]

Je ne suis pas spécialiste du tout de ces questions, mais il me semble en effet que physiquement la prise en compte d'une phase n'aurait aucun effet observable (on ne peut pas faire interférer un système avec ce même système vu d'un autre référentiel boosté par rapport au premier...).

[invite8ef93ceb]

Pour être plus précis...

Si je choisis que les générateurs sont des nombre imaginaires pures, alors l'algèbre de Lie est automatiquement satisfaite (elle l'est pour n'importe quel scalaire). Et alors la transformation s'écrit comme exp{k}, où k est une constante correspondant à la somme de 6 termes (3 pour la rotation et 3 pour les boosts).

J'ai donc une représentation non triviale. Si je considère une transformation infinitésimale, alors exp{k}=1+k. Par conséquent, un scalaire m varie d'une quantité m.k sous la transformation.

Il doit y avoir un argument simple qui dit qu'on peut redéfinir les générateurs comme étant nuls sans changer la physique, mais à ce que je vois ça la change puisque les scalaires changent sous une transfo de Lorentz...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef93ceb]

Oh, je pense que j'ai compris. Le groupe de Lorentz est défini comme l'ensemble des transformations qui laissent invariante ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.

Si elle laisse invariante ce scalaire, il est possible que l'algèbre de Lie force les transfos à laisser invariants tous les scalaires...

En gros, on a pas le choix d'avoir k (du message précédent) égal à zéro ou les constantes de structures nulles pour cette quantité particulière. Mais comme les constantes de structures ne sont pas nulles en général (parce que l'invariance de ds doit être vrai pour toute transformation de Lorentz), on doit avoir que le générateurs sont tous nuls.

C'est ça?

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

l'algèbre d'un groupe de Lie s'écrit comme

où l'on reconnait les générateurs et les constantes de structure.

Dans le cas du groupe de Lorentz, on CHOISI la représentation triviale pour les scalaires, c'est à dire qu'on définit les générateurs 1x1 comme étant nuls. Mais, on pourrait aussi bien prendre les générateurs comme une matrice 1x1, et trouver qu'un scalaire est transformé en lui ajoutant une phase par la transformation de Lorentz.

Est-ce que quelqu'un sait pourquoi on choisi la représentation triviale, et quelle conséquence physique on aurait si on conservait la phase arbitraire dans le représentation 1x1?

Est-ce que cela a rapport avec le fait qu'un état physique est indistinguable à un facteur de phase près?

Merci,

Simon

Bonjour,

D'une manière générale, quelquesoit le groupe discret ou continu il existe une representation triviale évidente. C'est celle qui fait correspondre a chaque élément du groupe une matrice de dimension 1 dont l'élément de matrice est 1. Cette representation est évidemment irréductible.
.
En conséquence si tu appliques cette matrice a un vecteur a 1 dimension et que ce vecteur ne change pas alors c'est un scalaire pour ce groupe.
.
Si tu as vecteur a 1 dimension et que celui-ci acquière un facteur de phase ce n'est pas (par définition) un scalaire de Lorentz. En fait dans ce cas il s'agit d'un autre groupe que l'on appelle U(1) ou SO(2)

[invite9c9b9968]

D'ailleurs à ce propos, pour reprendre la non-distinguabilité à un facteur de phase près, cela vient-il de la symétrie U(1) ?

Je dis ça parce que ça me fait penser à l'électromagnétisme...

[invite8ef93ceb]

D'une manière générale, quelquesoit le groupe discret ou continu il existe une representation triviale évidente. C'est celle qui fait correspondre a chaque élément du groupe une matrice de dimension 1 dont l'élément de matrice est 1. Cette representation est évidemment irréductible.

Si vous avez lu ma question, il est évident que je sais qu'il existe une représentation triviale, puisque je demande POURQUOI on l'utilise dans le cas des scalaires. Il est aussi évident que je sais qu'il existe une représentation triviale pour chaque groupe, puisque je mentionne que cette représentation correspond à choisir des générateurs nuls (ce qui peut se faire pour tout groupe de Lie, ce qui m'intéresse ici).

En conséquence si tu appliques cette matrice a un vecteur a 1 dimension et que ce vecteur ne change pas alors c'est un scalaire pour ce groupe.

Si vous avez lu ma question, il est évident que je sais que si la représentation 1x1 est triviale, alors un nombre est un scalaire pour cette représentation. Ma question est : pourquoi choisi-t-on la représentation triviale de façon à ce qu'un nombre soit un scalaire? On aurait pu choisir une représentation non triviale, qui transforme un nombre lors d'une transformation de Lorentz. Seulement pour que ce soit bien clair, on aurait pu choisir la représentation 4x4 comme triviale, celle-ci laissant invariant un 4-vecteur. Or, on ne l'a pas fait, mais on l'a fait pour la représentation 1x1. Pourquoi?

Si tu as vecteur a 1 dimension et que celui-ci acquière un facteur de phase ce n'est pas (par définition) un scalaire de Lorentz.

Si vous avez lu ma question, il est évident que je sais ça. Je demande justement pourquoi on pose (ou impose) qu'un vecteur à 1 dimension est un scalaire, i.e. pourquoi on choisi la représentation 1x1 triviale.

En fait dans ce cas il s'agit d'un autre groupe que l'on appelle U(1) ou SO(2)

Non. Je peux décrire le groupe de Lorentz, en choisisant une représentation 1x1 non triviale. J'aurai besoin de 6 paramètres pour savoir comment un nombre est modifié par une transformation de lorentz dans la représentation 1x1 non triviale. Il est important de savoir, si on joue avec les groupes, que c'est le nombre de paramètre et la relation entre eux (l'algèbre de Lie) qui défini ce qu'est un groupe, cela n'a RIEN à voir avec la dimension de la matrice qui représente un élément du groupe. En d'autres mots, la dimension du groupe n'a rien à voir avec la dimension de la représentation. Donc, même en représentation 1x1, je suis dans le groupe de Lorentz, un groupe à 6 dimension, i.e. à 6 paramètres indépendants.

Ma question est: avez-vous lu ma question?

Je dois être honnête avec vous, souvent j'ignore vos post parce qu'il constituent la plupart du temps un exposé qui résume des faits, sans lien apparent avec une réponse possible à la question posée.

Aussi, je pense que j'ai déjà répondu à ma question en montrant que la transformation de Lorentz quelconque doit laisser le scalaire ds invariant, ce qui implique que les générateurs doivent être nuls pour la représentation 1x1.

Cordialement,

Simon

[inviteca4b3353]

Salut Simon,

La question que tu poses est loin d'etre anodine. Je crois que seul le bouquin de Weinberg traite cette question la. Je te donne la ref si tu veux lire les détails :

S.Weinberg - QFT vol.1 sections 2.2/2.7

Je tente un résumé. Une représentation d'un groupe de symétrie qui est invariante sous l'action du groupe a une phase pres, est dite projective. La question que tu poses pour les scalaires revient a se demander s'il existe des representations projectives pour le groupe de Lorentz. Si elles n'existent pas alors la seule rep utilisable pour les scalaires est celle usuellement employée pour laquelle la phase est nulle.

Pour une telle rep. on a la loi de composition suivante :

ou sont des éléments du groupe de Lie, U sont les représentant des T pour la rep projective considérée. Un premier resultat que Weinberg montre est que la phase reele ne depend pas des états mais seulement des éléments de transfo du groupe.

Ensuite il montre qu'une telle loi de composition implique une relation de commutation des generateurs de la forme :


1 est l'identité du groupe de Lie, sont les composantes de la phase sur une base de l'algebre de Lie du groupe. Le second terme est ce qu'on appelle une charge centrale en théorie des groupes. La question est de savoir maintenant s'il est possible de redefinir les generateurs de maniere a absorber cette charge centrale. Ce qui traduirait le fait que la presence de cette phase, ie l'existence de rep projective n'a rien de physique car elle n'apparait pas dans la structure du groupe. En gros dans ce cas la phase n'apporte rien du tout pour la representation car les lois de transformations n'agissent pas dessus. Le groupe ne distingue pas des rep munies de phase differentes, on peut donc sans restriction prendre une phase nulle.

Selon Weinberg un groupe de Lie ne possede pas de rep projective seulement s'il satisfait deux conditions :

1) la redefinition pour les generateurs dont je parlais est possible.

2) le groupe doit etre simplement connexe, ie il existe toujours un moyen de ramener continuement un élément du groupe vers l'identité tout en restant dans le groupe.

Il montre également que le groupe de lorentz respecte ces deux contraintes. Par conséquent, il n'existe pas de rep projective. Et donc ajouter une phase dans les lois de transformations n'a rien de physique car toutes les rep définies à une phase pres sont équivalentes. On peut sans risque et sans perte de généralités choisir une représentation pour laquelle .
Ce qu'on fait tout le temps mais sans vraiment le dire.

J'espere que ca repond a ta question. Je te laisse lire les pages du Weinberg correspondantes. C'est tres détaillé comme toujours et tres instructifs.

A bientot
KB

[invite7ce6aa19]

Ma question est: avez-vous lu ma question?

Je dois être honnête avec vous, souvent j'ignore vos post parce qu'il constituent la plupart du temps un exposé qui résume des faits, sans lien apparent avec une réponse possible à la question posée.

Aussi, je pense que j'ai déjà répondu à ma question en montrant que la transformation de Lorentz quelconque doit laisser le scalaire ds invariant, ce qui implique que les générateurs doivent être nuls pour la représentation 1x1.

Bien au contraire je lis attentivement ce que tu écrit et essai le plus simplement possible de répondre a tes questions.
.
J'enchaine tu écrit ci-dessus que "les transformations de Lorentz laisse le scalaire ds invariant".

En fait ds n'est pas un scalaire mais un quadrivecteur qui engendre une representation (irréductible) du groupe des rotations de Lorentz (précisemment dans ce cas les transformations de Lorentz).
;
On montre que dans la décomposition en somme directe d'une representation irréductible par elle même on obtiend la représentation triviale, cad que l'on peut former diverses scalaires relativement au groupe considéré.
.
Appliquer à ton cas le produit ds par ds donne le scalaire de Lorentz noté ds2 qui est précisemmenrt la métrique qui définit la géométrie de Minskowski.

Tu as écrit:

Les générateurs doivent être nuls pour la représentation 1x1.
.
1- Les générateurs d'un groupe permettent de déterminer d'une manière économique tous les éléments du groupe. Si comme tu l'écrit les générateurs du groupe sont nuls alors le groupe n'existe plus.
.
Dans le contexte des groupes de Lie l'algébre de Lie définit le produit des éléments des groupes, il s'agit donc de la table de multiplication du groupe.

2- La representation 1x1 veut dire un jeu infini de matrice 1x1 (une pour chaque transformation de Lorentz). Par conséquent lorsque tu fais une rotation d'un angle Téta une quantité invariante se voit multiplier par cette matrice 1x1 quelquesoit Téta. C'est pourquoi appliqué à ds2 (et non ds) que l'on a un scalaire.

[invite8ef93ceb]

Je tente un résumé...

C'est très gentil, KB. Je n'étais pas certain moi-même que ma question fasse du sens. Je pense que je devrais toujours aller voir Weinberg avant tout, on dirait que c'est le seul qui vérifie bien chaque détail...

Merci encore,

je considère la question comme réglée (si Weinberg le dit )

Salutations,


Simon

[inviteca4b3353]

je considère la question comme réglée (si Weinberg le dit )

et surtout il le montre
(j'avoue que je n'ai pas lu tout les details de la demonstration car c'est assez long (2 appendices...))
KB

[invite8ef93ceb]

En fait ds n'est pas un scalaire mais un quadrivecteur qui engendre une representation (irréductible) du groupe des rotations de Lorentz

C'est ds^2 que je voulais écrire, désolé.

[invite7ce6aa19]

Si vous avez lu ma question, il est évident que je sais que si la représentation 1x1 est triviale, alors un nombre est un scalaire pour cette représentation. Ma question est : pourquoi choisi-t-on la représentation triviale de façon à ce qu'un nombre soit un scalaire? On aurait pu choisir une représentation non triviale, qui transforme un nombre lors d'une transformation de Lorentz. Seulement pour que ce soit bien clair, on aurait pu choisir la représentation 4x4 comme triviale, celle-ci laissant invariant un 4-vecteur. Or, on ne l'a pas fait, mais on l'a fait pour la représentation 1x1. Pourquoi? Si vous avez lu ma question, il est évident que je sais ça. Je demande justement pourquoi on pose (ou impose) qu'un vecteur à 1 dimension est un scalaire, i.e. pourquoi on choisi la représentation 1x1 triviale.

Dans ce texte il me semble comprendre ta question.
.
Ta question est pourquoi on choisit la représentation triviale?
.
En fait dans le contexte de la théorie des groupes on ne choisit une représentation, fut-elle triviale, on la génère a partir d'un jeu de fonctions.
.
Je reprend ton groupe de lorentz. Supposons que l'on a récolté un jeu de 5 fonctions (définies sur r,t). a partir de ces 5 fonctions on va appliquer les rotations de Lorentz. On aura ainsi une représentation réductible du groupe.
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Pour que tu obtiennes une représentation du groupe sous la forme d'un jeu de matrices 1.1 à 5 dimensions il faut que Tes 5 fonctions soient chacune invariante selon les rotations. Cela n'arrive (presque) jamais. Bien sur pour ds chaque composante n'est pas un scalaire de lorentz.
.
En fait la representation triviale de dimension 1 joue un role particulier car c'est une representation irréductible. Ce n'est pas le cas des autres representations triviales de dimension supérieures qui elles sont réductibles.
.
en éspérant avoir mieux ciblé ma réponse.

[invite7ce6aa19]

C'est ds^2 que je voulais écrire, désolé.

Ya pas de quoi, ça prouve au moins que je te lis même si je ne comprend pas tes questions!

[inviteca4b3353]

1- Les générateurs d'un groupe permettent de déterminer d'une manière économique tous les éléments du groupe. Si comme tu l'écrit les générateurs du groupe sont nuls alors le groupe n'existe plus.
.

Non. Les generateurs prennent des formes et des valeurs differentes selon la representation considérée. Pour la rep scalaire, le fait d'ecrire :
signifie que dans cette representation, les generateurs T sont representés par des nombres qui sont nécessairement nuls pour satisfaire l'égalité.

Par contre cela ne signifie en rien que les generateurs sont representés par des matrices dont les entrées sont toutes nulles pour les autres representations. Le groupe n'a du tout disparu !! Il ne faut pas confondre le groupe et ses generateurs avec les rep du groupes et les representants des generateurs.

Dans le contexte des groupes de Lie l'algébre de Lie définit le produit des éléments des groupes, il s'agit donc de la table de multiplication du groupe.

Il est dangereux de dire que l'algebre de Lie definit les lois de composition du groupe de Lie associé. L'algebre de Lie est simplement une restriction du groupe autour de l'identité. Apres pour remonter a la table du groupe a partir des relations de commutations de l'algebre (ou des constantes de structure c'est pareil), il faut realiser une exponentiation qui n'est pas toujours triviale.
Ensuite, il est bon de garder à l'esprit que des groupes differents avec a priori des tables de composition differentes peuvent avoir les memes (isomorphes) algebres de Lie. Exemple simple, SU(2) et SO(3).
Autre exemple dans un cadre geometrique, confondre le groupe et l'algebre revient a confondre le cercle et la droite infinie. Localement les deux sont identiques, les deplacements infinitésimaux sont les memes, il n'y a pas de courbure. mais lorsqu'on considere des deplacements finis, on "sent" le cercle dans un cas et pas dans l'autre.

KB

[invite7ce6aa19]

Non. Les generateurs prennent des formes et des valeurs differentes selon la representation considérée. Pour la rep scalaire, le fait d'ecrire :
signifie que dans cette representation, les generateurs T sont representés par des nombres qui sont nécessairement nuls pour satisfaire l'égalité.

Ok. J'ai parlé trop vite.

]
Par contre cela ne signifie en rien que les generateurs sont representés par des matrices dont les entrées sont toutes nulles pour les autres representations. Le groupe n'a du tout disparu !! Il ne faut pas confondre le groupe et ses generateurs avec les rep du groupes et les representants des generateurs.

.Là je ne comprends pas ce que tu dis. Grossso-modo un générateur dans le contexte des groupes continus c'est une variation d'une transformation par unité d "angle" (paramêtre). Si celui-ci est nul il n'y a plus de transformation (sauf la transformation identité). Bien entendu je ne confonds pas les générateurs et leurs représentations.
.

Il est dangereux de dire que l'algebre de Lie definit les lois de composition du groupe de Lie associé. L'algebre de Lie est simplement une restriction du groupe autour de l'identité. Apres pour remonter a la table du groupe a partir des relations de commutations de l'algebre (ou des constantes de structure c'est pareil), il faut realiser une exponentiation qui n'est pas toujours triviale.

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Tu viens excatement d'évoquer comment construire un groupe de Lie à partir de son algébre de Lie. C'est pour ça que l'on parle de générateurs. Prends un groupe discret et tu verras que l'on peut décrire tous les éléments du groupe à partir que quelques-uns d'entre-eux, c'est la raison pour laquelle on parle de générateurs!

]
Ensuite, il est bon de garder à l'esprit que des groupes differents avec a priori des tables de composition differentes peuvent avoir les memes (isomorphes) algebres de Lie. Exemple simple, SU(2) et SO(3).

absolument. L'algébre de lie + une topologie globale définissent un groupe unique.

Autre exemple dans un cadre geometrique, confondre le groupe et l'algebre revient a confondre le cercle et la droite infinie. Localement les deux sont identiques, les deplacements infinitésimaux sont les memes, il n'y a pas de courbure. mais lorsqu'on considere des deplacements finis, on "sent" le cercle dans un cas et pas dans l'autre.

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je crois que ton exemple n'est pas bon car la droite et le cercle sont topologiquement équivalents lorsque on identifie les extrémités de la droite, cela n'a donc rien a voir avec la courbure qui n'est pas une propriété topologique.

[inviteca4b3353]

Si celui-ci est nul il n'y a plus de transformation (sauf la transformation identité). Bien entendu je ne confonds pas les générateurs et leurs représentations.

Ben justement je crois que si. Je le repete les generateurs ne s'expriment pas de la meme facon pour des rep differentes. Elles peuvent etre representés par une matrice nulle dans certaines rep (c'est le cas de la rep triviale) mais par une matrice non nulle pour d'autres rep (ex:vecteur, tenseur, spineur...). A part le repeter une 3eme fois, je vois mal ce que je pourrais faire pour que tu saissises.

Tu viens excatement d'évoquer comment construire un groupe de Lie à partir de son algébre de Lie. C'est pour ça que l'on parle de générateurs. Prends un groupe discret et tu verras que l'on peut décrire tous les éléments du groupe à partir que quelques-uns d'entre-eux, c'est la raison pour laquelle on parle de générateurs!

J'allucine, il me fait un cours....
Merci je le savais dejà.

je crois que ton exemple n'est pas bon car la droite et le cercle sont topologiquement équivalents lorsque on identifie les extrémités de la droite, cela n'a donc rien a voir avec la courbure qui n'est pas une propriété topologique.

Comme je l'ai précisé c'est une analogie pour sentir la difference entre un groupe de Lie et son algebre associée. et montrer qu'un groupe n'est pas defini par son algebre autour de l'identite. Maintenant, pour un cercle il y a une courbure mais extrinseque, car le cercle est plongé dans un espace plus grand a 2 dimension. Je sais bien que topologiquement c'est la meme chose d'une droite, qu'un cercle n'a pas de courbure intrinseque. MAIS CE N'EST PAS LA QUESTION ICI.

KB
qui pense qu'il ferait mieux d'arreter de perdre son temps des fois...