Algèbre de lie et représentation

[invite84eba484]

Bonjour a tous,

Alors voila j'ai un souci de compréhension je crois.
Je dois calculer la forme de killing de so(3).

Sachant que K(X,Y)= -Tr(adX adY) !

Donc j'ai chercher les représentation adjointe avec la base :

T1=(0 0 0) **** T2=(0 0 1)**** T3=(0 -1 0)
*** (0 0 -1) **** * (0 0 0 ) ****** (1 0 0)
*** (0 1 0)**** *** (0 1 0)***** * (0 0 0)

mais je comprend pas tout je crois car je trouve
adX= X et adY=Y et donc K=0 !!

je crois avoir un gros souci de compréhension qui pourrais m'expliquer en quelques mots ? merci d'avance.
-----

[invite84eba484]

Euh le caractère pressant de mon post ne sautais peut etre pas aux yeux mais il l'est ^^

Cette lacune me bloque complétement et j'ai pas mal d'exo qui concerne ce sujet donc ke ne peut pas avancer sans ça

En clair : Help me please !

[invitebe0cd90e]

Peux tu preciser ce que tu entends par Ad(x)=X ? il faut etre prudent, il y a bien un lien de ce genre, mais la tu as d'un coté un operateur sur so(3), de l'autre un element de so(3) donc ces elements ne sont pas de meme nature.


Pour calculer la matrice de la forme de Killing, il faut calculer les pour i,j dans {1,2,3}.

[invite84eba484]

salut,

euh mais alors il y a plusieur forme de killing ?? selon quelle élément de ta base que tu prend ??

Et aussi adX c'est bien une matrice ? vue que c'est une représentation !

Moi j'ai K(X,Y)= Tr(adX adY) et on me dit calculer LA forme de killing de so(3) du coup j'ai l'impression que on s'en fout de mon troisiéme vecteur de base ce qui me parais trés arbitraire ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Je ne vois pas pourquoi tu dis qu'on se fout de ton 3e vecteur, ici X et Y sont des elements quelconques de l'algebre de Lie. Comme pour toute forme bilineaire, pour la calculer il faut l'evaluer sur les elements de la base. Donc la formule que je te donne ce sont les coefficients de la matrice de la forme de Killing dans la base que tu as choisi. Et pour ca effectivement il faut calculer Ad(T_i), i=1,2,3.

[invite84eba484]

Euh alors,

tu me dit Tr(adTi °adTj) ij=1,2,3.

mais la je vais me retrouver avec 9 matrice non ? adT1 adT1 , adT1 adT2 etc.. c'est la que je ne comprend pas je crois...

Désolé si j'ai l'air de rien comprendre mais ils nous on donné un trés court temps pour assimilé un grand nombre de chose il n'y 3 semaine de ça je ne savais meme pas ce que c'était un groupe de lie et encore moins une algèbre lol...

[invitebe0cd90e]

Non, tu te retrouves avec les traces de neuf matrices, donc 9 nombres, qui seront les coefficients de la matrice de la forme de Killing.

Ceci dit, j'avais lu un peu en diagonal mais est tu sur que ce que tu as est bien une base de so3 ?

[invite84eba484]

Okkkkk je comprend un peu mieux mais alors une autre (derniere?) question une fois que j'ai ma "matrice de killing" j'en fait quoi ? parce que par définition je dois avoir un nombre a la fin non ? K : G*G-->R ou C.

Enfin oui je viens de voir je crois que ma seconde matrice est fausse (elle est pas antisymétrique ^^) mais j'ai ma bonne base dans le cours ! Meme si il vas falloir que j'en prenne une autre mais ça c'est autre chose je voudrais d'abord comprendre cette forme de killing aprés je pense m'en sortir .

[invitebe0cd90e]

Okkkkk je comprend un peu mieux mais alors une autre (derniere?) question une fois que j'ai ma "matrice de killing" j'en fait quoi ? parce que par définition je dois avoir un nombre a la fin non ? K : G*G-->R ou C.

Bah oui, justement, la forme de Killing est une application bilineaire GxG -> R et on te demande de la calculer. Donc on ne te demande pas un nombre, on te demande determiner K. Or, ce qu'il y a de bien avec les applications (bi)lineaires c'est que pour les determiner il suffit de les calculers sur des vecteurs de bases. Donc il suffit que tu calcules les K(T_i,T_j) chacun d'eux etant un nombre, pour connaitre K. C'est ces 9 nombres qui forment la matrice de Killing.

Enfin oui je viens de voir je crois que ma seconde matrice est fausse (elle est pas antisymétrique ^^) .

Oui, remplace la derniere ligne par (-1,0,0).

[invite84eba484]

J'arrive a pas a modifié :s

Euh ok j'étais loin d'avoir compris que la forme de killing est une matrice lol mais je vais faire les calcul pour voir ce que ça donne mais je reste perplexe vue les autres exo que j'ai mais bon je crois que ce que tu me dit est logique aprés reflexion K est une application bilinéaire bref je vais réfléchir a tout ça.

Merci en tout cas je sais un peu ou je vais maintenant.

[invitebe0cd90e]

enfin n'oublie pas que K est symetrique, donc la matrice de K dans n'importe quelle base sera une matrice symetrique, donc il y a des coefficients que tu n'as pas besoin de calculer.

Pour faire les choses le plus simplement, commence par calculer les constantes de structures de ton algebres, cad que tu calcules [T1,T2], [T1,T3] et [T2,T3] ( sachant que [Ti,Ti]=0 et [Ti,Tj]=-[Tj,Ti] tu n'as que ces trois la a calculer) et ecrit a chaque fois le resultat comme une combinaison lineaire de T1,T2,T3. Partant de la tu pourras calculer les matrices de ad(T1), ad(T2) et ad(T3) : par exemple les colonnes de la matrice de ad(T1) sont comme pour n'importe quelle application lineaire les coordonnées respectivement de ad(T1)(T1)=[T1,T1], ad(T1)(T2)=[T1,T2], etc..

Ensuite pour composer les operateurs ad tu fais le produit de chacune des matrices qui correspond, et tu prends la trace du resultat.

C'est normal de trouver ca perturbant, puisque les vecteurs de ta base sont deja des matrices, mais il faut vraiment y penser comme a un espace vectoriel de dimension 3 et de base T1,T2,T3 et chercher a calculer les matrices (au "vrai" sens du terme) de certaines applications lineaires.

[invitebe0cd90e]

J'arrive a pas a modifié :s

Euh ok j'étais loin d'avoir compris que la forme de killing est une matrice lol mais je vais faire les calcul pour voir ce que ça donne mais je reste perplexe vue les autres exo que j'ai mais bon je crois que ce que tu me dit est logique aprés reflexion K est une application bilinéaire bref je vais réfléchir a tout ça.

Merci en tout cas je sais un peu ou je vais maintenant.

La forme de Killing "n'est" pas une matrice, c'est une application bilineaire, mais comme toute application bilineaire on peut ecrire sa matrice dans une base. De facon generale, si E est un espace vectoriel de base (e1,...,en) et B une forme bilineaire de ExE -> R, alors la matrice de B est la matrice dont les coefficients sont les B(ei,ej).

Le fait que dans ton cas T1,T2,T3 soit eux memes des matrices ne doit pas t'induire en erreur, ce ne sont "que" des vecteurs de base d'un espace de dimension 3.

[invite84eba484]

oui je suis impardonnable lol ça me parais évident maintenant que la forme de killing n'est pas un nombre! c'est une forme bilinéaire et donc oui en effet on peut la représenter par une matrice !

Je comprend mieux c'est comme l'application changement de base ou autre etc...

Et oui je crois que c'est le fait que mes vecteur de base soit des matrices qui m'a rendu fou et a fait que je me suis vraiment emmélé les pinceau et peut etre aussi la fatigue de ne voir que des math depuis 3 jour lol mais oui j'ai compris !

bref merci mille fois je vais pouvoir avancer et surtout j'ai compris des choses !!

je reviendrais ^^

[invitebe0cd90e]

Oui, comme dit je comprends que ca t'ai perturbé, et attention, c'est quand meme important que ca soit des matrices pour que le commutateur (le croche de Lie) aie un sens. DOnc la definition des applications linéaires ad(Ti) necessite que les Ti soient des matrices, mais une fois ca en tete tu calcules leur matrice comme tu le fais avec n'importe quelle application linéaires. Fait comme je t'ai dit, ecrit les constantes de structures et tu pourras oublier que ce sont des ad(qqchose) et les voir comme des applications lineaires ordinaires definie par des formules explicites.

[invite84eba484]

oui en ne considérant que les constantes de structure je m'y retrouve un peu mieux.

Mais je viens de relire mon cour et ce qui m'a indui en erreur aussi c'est un théoréme qui dit que l'algèbre de lie est compacte si sa forme de killing est positive. Du coup je pensez a un nombre ... bref je vais faire l'exo pour avancer un peu.

Merci encore.

[invite84eba484]

Encore une chose,

En relisant les posts, je viens de voirs que j'ai raté un de tes post et pas le moindre lol celui ou tu explique tout proprement.

Bon j'ai vraiment compris cette fois^^.

[invite84eba484]

bon bon bon,

je trouve K=2I ou I est la matrice identité 3*3.

Donc d'aprés mon théoréme so(3) est compact ce qui me parais acceptable car so(3) isomorphe a su(2) qui lui est la sphére de dim 2.

Voila merci.

[invitebe0cd90e]

Gap a l'air d'être d'accord avec toi (au signe près, ce qui n'est pas bien grave, sans doute une convention différente):

gap> t1:=[[0,0,0],[0,0,-1],[0,1,0]];
[ [ 0, 0, 0 ], [ 0, 0, -1 ], [ 0, 1, 0 ] ]
gap> t2:=[[0,0,1],[0,0,0],[0,1,0]]; 
[ [ 0, 0, 1 ], [ 0, 0, 0 ], [ -1, 0, 0 ] ]
gap> t3:=[[0,-1,0],[1,0,0],[0,0,0]];
[ [ 0, -1, 0 ], [ 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0 ] ]
gap> L:=LieAlgebra(Rationals,[t1,t2,t3]);
<Lie algebra over Rationals, with 3 generators>
gap> Dimension(L);                       
3
gap> KillingMatrix(Basis(L));
[ [ -2, 0, 0 ], [ 0, -2, 0 ], [ 0, 0, -2 ] ]

[invitebe0cd90e]

Notes que tu viens aussi de prouver que ton algèbre est semi-simple (en fait elle est même simple), puisque la forme de Killing est non dégénérée.

[invite84eba484]

cool ^^

Oui il parais que les phycisiens préférent mettre un moins pour la forme de killing k=-Tr(...) .

Ah oui c'est vraie ma forme est non dégénéré donc so(3) est simple .

Bon encore merci j'ai pus bien avancer car j'ai mieux compris ce truc bizarre ^^.

[invite84eba484]

cool ton code pour le calcul de la matrice de killing, dommage qu'on a pas le droit a l'ordi en exam

[invitebe0cd90e]

Mais ca peut servir pour vérifier tes calculs, GAP est assez incroyable pour ca, il sait construire les algebres de Lie simple, decider si une algebre engendré par des matrices est simple, calculer sa forme de Killing, mais aussi construire les modules sur ces algebres, etc.. c'est un outil tres puissant, si ca t'intéresse ca se passe par la : http://www.gap-system.org/

[invite84eba484]

Oui vas juste falloir que je trouve le temps pour m'habituer au logiciel mais je vais le prendre ça pourra servir.


Bon sinon au lieu d'ouvrir un autre sujet je pense que je peut poser d'autres question du méme type ici.

Alors cette fois je dois calculer le rapport de proportionalité entre Ksu(2) et Kc2 ou je crois qu'il faut juste juste calculer les formes de killing de su(2) dans deux base différentes : la base constitué des matrices de pauli pour Kc2 et une autre base ou on multiplie les matrice de pauli par un facteur -1/2i ce qui nous ammene a un commutateur [T1,T2]=(eps)T3 avec eps=+-1 selon l'ordre (j'ai oublié le nom de ce truc !

Bref, pour Kc2 je calcul les représentation adjointe a partir des matrices de pauli (qui sont donc des matrice 2*2) et j'arrive a une matrice 3*3 ok peut etre . je trouve donc Kc2=8I et Ksu(2)=2I.

Alors voila ma question, su(2) et so(3) ont la méme algèbre de lie dans la base de mes {T1,T2,T3} donc est ce que j'aurais pus tout de suite conclure que Ksu(2)=2I étant donné que je venez de calculer Kso(3) et que je voyais bien qu'ils avaient les méme constantes de structure ?