Voisinage

[invite4facbc79]

bonsoir,

je sais que montrer qu'il s'agit d'un ensemble fermé il suffit de monter que son complémentaire est ouvert.

Et pour monter qu'un ensemble est ouvert il faudra montrer que "il existe un x appartenant à l'ensemble X,et A inclue dans X,tel que x est un voisinage de A!!!!

alors ma question c'est :c'est quoi un voisinage?!!!!!
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[invitea6f35777]

Salut,

Un voisinage d'un point c'est intuitivement un ensemble qui contient entre autre les points "directement autour" de , et un voisinage tout court c'est le voisinage d'un certain point. Puisque la notion de points "directement autour" de n'a aucun sens de même que la question:

Quel est le réel qui vient juste après 1?

n'a pas de réponse, puisque ce n'est ni 1,000001 ni 1,0000000001 ni etc. On ne peut pas définir d'ensemble contenant juste et les points juste à coté de lui, on considère donc un ensemble qui contient plus de points dont qui ne doit pas être sur le bord de cet ensemble pour que les point de chaque coté de soit tous dans l'ensemble.

Pour la définition rigoureuse, à partir du moment ou la topologie est définie à partir de ses ouverts (ce qui est un choix arbitraire il existe aussi une définition de la topologie à partir de voisinages) on dit qu'un voisinage de est un ensemble qui contient un ouvert qui contient , l'ouvert étant la notion de base de la topologie qui est défini par ses axiomes et qui intuitivement contient les points "directement autour de x".

Maintenant quelle est la différence entre les voisinages et les ouverts?

C'est simple, les ouverts sont des voisinages particuliers qui ont la propriété d'être voisinage de tout leurs points, ce qui n'est pas le cas d'un voisinage quelconque.
Si tu prends un point dans un voisinage quelconque, le voisinage est un voisinage de ce point si ce dernier n'est pas sur le bord (ou ce qui revient au même est à l'intérieur)

autrement dit un ouvert est un voisinage qui n'a pas de bord (ou qui est égal à son intérieur).

un voisinage peut avoir des points sur son bord il peut même être fermé, on peut obtenir un ouvert à partir d'un voisinage en "l'épluchant" c'est à dire en le privant de ses points qui sont sur le bord.

Dans l'autre sens, si on ajoute des points à un ouvert on obtient toujours un voisinage (c'est exactement la définition d'un voisinage), si les points que l'on rajoute sont uniquement dans l'adhérence de l'ouvert alors le voisinage que l'on obtient est toujours voisinage de tous les points de l'ouvert initial et seulement ceux là, sinon il peut être également voisinage d'autre points que l'on a rajouté.

Un voisinage peut être ouvert, fermé ou rien du tout (il peut être aussi à la fois ouvert et fermé mais dans ce cas c'est l'espace tout entier) par exemple



sont trois voisinages de , respectivement ouvert, rien du tout et fermé.

est aussi un voisinage de

Un voisinage est le voisinage d'un certain point ce qui nécessite qu'un de ses points soit dans son intérieur et donc qu'il soit d'intérieur non vide. Réciproquement un ensemble d'intérieur non vide est voisinage de tous les points qui sont dans son intérieur et donc c'est un voisinage. En résumé les voisinages sont exactement les ensembles d'intérieur non vide, les ouverts sont des voisinages particuliers qui n'ont pas de bord.