Z et ZF

[Amanuensis]

Bonjour,

On voit couramment dans les listes d'axiomes de ZF à la fois le schéma de remplacement et le schéma de compréhension.

On voit aussi couramment écrit que le premier (plus les autres axiomes de ZF) implique le second. Ce qui rend l'inclusion du schéma de compréhension redondante, ce qui curieux pour une axiomatique.

Ce qui amène immédiatement la question pourquoi les deux sont si souvent inclus ensemble dans la liste ?

J'ai vu quelque part que l'implication du schéma de compréhension par le schéma de remplacement n'était pas valable en logique intuitionniste.

Est-ce la raison de cette "redondance" ? Pour éviter d'avoir à préciser la logique employée ?

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Autre question : on voit écrit que le schéma de remplacement (ZF) rend plus puissante la théorie, comparé à seulement le schéma de compréhension (Z). Que peut-on citer comme aspect des mathématiques usuelles, en particulier de celles employées en physique, qui demande ZF plutôt que Z ? (Ou ZFC plutôt que ZC ?)

Cordialement,
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[invitec7c23c92]

Bonsoir,

On voit aussi couramment écrit que le premier (plus les autres axiomes de ZF) implique le second. Ce qui rend l'inclusion du schéma de compréhension redondante, ce qui curieux pour une axiomatique.

Ce qui amène immédiatement la question pourquoi les deux sont si souvent inclus ensemble dans la liste ?

Sans doute pour ne pas oublier qu'avant ZF, il y a une théorie Z.
Ça n'est pas très important, c'est une façon comme une autre de rendre la liste des axiomes intelligible.

Autre question : on voit écrit que le schéma de remplacement (ZF) rend plus puissante la théorie, comparé à seulement le schéma de compréhension (Z). Que peut-on citer comme aspect des mathématiques usuelles, en particulier de celles employées en physique, qui demande ZF plutôt que Z ? (Ou ZFC plutôt que ZC ?)

Les conséquences du schémas de remplacement se font surtout sentir en logique mathématique. Il rend les classes des ordinaux et des cardinaux plus intéressantes et riches (on ne peut pas construire , ni dans Z seulement).

Dans des mathématiques plus générales il a peu de conséquences.

Un exemple toutefois de résultat en analyse : le schéma de remplacement implique que tout ensemble borélien est déterminé (Martin, 1975) et le remplacement est nécessaire pour ce résultat (Friedman, 1971).
C'est assez pointu et anecdotique....

[Amanuensis]

Les conséquences du schémas de remplacement se font surtout sentir en logique mathématique. Il rend les classes des ordinaux et des cardinaux plus intéressantes et riches (on ne peut pas construire \omega+\omega, ni \aleph_{\omega} dans Z seulement).

Est-ce que cela a un rapport (et alors est-ce cohérent ?) avec la phrase prise dans le Wiki anglais qui suit ?

V_ω+ω is the universe of "ordinary mathematics", and is a model of Zermelo set theory.

[Médiat]

Bonjour,

On voit couramment dans les listes d'axiomes de ZF à la fois le schéma de remplacement et le schéma de compréhension.

On voit aussi couramment écrit que le premier (plus les autres axiomes de ZF) implique le second. Ce qui rend l'inclusion du schéma de compréhension redondante, ce qui curieux pour une axiomatique.

Ce qui amène immédiatement la question pourquoi les deux sont si souvent inclus ensemble dans la liste ?

Il y a deux raisons, une (que je ne trouve pas très bonne) historique, le schéma de remplacement est postérieur au schéma de compréhension, et une plus pragmatique : le schéma de compréhension est beaucoup plus simple conceptuellement et pratiquement, or il est suffissant dans une très grosse majorité des cas.

La solution la plus propre aurait sans douté été de prendre en compte le schéma de remplacement seul, et de prendre en compte le schéma de compréhension au titre de théorèmes et non d'axiomes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7c23c92]

Est-ce que cela a un rapport (et alors est-ce cohérent ?) avec la phrase prise dans le Wiki anglais qui suit ?

Oui ça a un rapport.

En simplifiant : il existe un modèle de Z où les ordinaux sont uniquement les entiers k, et les +k... la classe des ordinaux s'arrête juste avant .

Ce modèle peut être construit explicitement, c'est

Il est beaucoup plus petit qu'un modèle de ZF, mais la plupart des mathématiques se passe là dedans.