yx < (y²+x²)/2

[inviteba67e777]

Bonjour,

j'aimerai bien démontrer cette formule mais remplaçant les carré par des puissances n :

yx < (y²+x²)/2

Y aurait il quelqu'un qui puissent m'aider ?
merci
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[indian58]

je suppose aussi le 2 par un n et que x et y sont différents (sinon ta formule n'est pas valable)

considère (x+y)^n et développe-le

[GuYem]

C'est vrai que l'inégalité devient large si on prend x=y.

Sinon comme a (presque) dit Indian il suffit de regarder (x-y)^2 (qui est positif puisque c'est un carré) et de le développer.

[Quinto]

Je ne pense pas que ce soit possible, cependant il existe une généralisation de ce résultat pour 1/p+1/q=1 avec p et q positifs.
Notamment celle ci nous dit que pour a et b positifs,

C'est une inégalité de Hölder.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteba67e777]

Et donc si j'ai bien compris, on élève les 2 membres à la puissance n et on remarque que x puissance n multiplié par y puissance n et plus petit que (x + y) puissance n (que l'on developpe grâce au binome de Newton).

Je vous remercie.

Et juste comme ça, vous pensez qu'on peut le démontrer en utlisant le log, j'ai essayé mais je suis bloqué à un certain moment ...

[inviteba67e777]

C'est une inégalité de Hölder.
A+

Merci Quinto mais je dois utiliser d'autres outils (qui sont assez réduit pour l'instant) présent ds mon cours et hölder n'y est pas.

[GuYem]

Tu as raison Quinto, c'est un cas particulier d'une inégalité type Holder.
Cependant içi il faut quand même pas chercher midi à quatorze heures :
Si x est différent de y alors


On passe le double produit à gauche et on divise par 2 pour obtenir :

[Quinto]

Mais ici il ne demande pas de démontrer ceci, mais de généraliser le résultat...

[g_h]

j'aimerai bien démontrer cette formule mais remplaçant les carré par des puissances n :

yx < (y²+x²)/2

En remplaçant les "carrés" par des "cubes", et le 2 par un 3, cela donne :



Si on pose x = -1 et y = -1, l'inégalité est fausse, non ?

[GuYem]

Mais ici il ne demande pas de démontrer ceci, mais de généraliser le résultat...

Ohlala! Je sais même pas lire tiens

Mille excuses pour ce hors sujet.
Et en effet la généralisation que tu demandes n'est pas possible.
La vraie généralisation est celle donnée par Quinto