discutons un peu

[MAROMED]

Q1
pourquoi on ai besoin de la continuité pour montrer q'une fonction f est admet une fonction réciproque?

Q2
pourquoi on ai besoin de la bijection pour montrer q'une fonction f est admet une fonction réciproque?
-----

[MAROMED]

Q 3
si la fonction f n'est pas continue, est ce qu'on peut dire que f n'admet pas une fonction réciproque?

[Tryss]

A priori, je ne vois pas pourquoi une fonction aurait besoin d'être continue pour admettre une réciproque

Sur [0, 1] cette fonction est bijective mais n'est pas continue:
f(0) = 1
f(1) = 0
f(x) = x sur ]0,1[

[MAROMED]

je pense que si on a une fonction f continue et strictement monotone
alors f admet une fonction réciproque mais une fonction peut avoir une fonction réciproque sans que f soit continue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

je pense que si on a une fonction f continue et strictement monotone
alors f admet une fonction réciproque mais une fonction peut avoir une fonction réciproque sans que f soit continue.

Cela me semble correct.

Q2
pourquoi on ai besoin de la bijection pour montrer q'une fonction f est admet une fonction réciproque?

Sans cette hypothèse, l'éventuelle réciproque pourrait donner deux images à un élément, donc ce ne serait pas une fonction.

[invitefa064e43]

Sans cette hypothèse, l'éventuelle réciproque pourrait donner deux images à un élément, donc ce ne serait pas une fonction.

ça c'est pour si f n'est pas injectivite

en plus la récproque pourrait ne pas admettre d'image si f n'est pas surjective

[MAROMED]

Exemple : On considère la fonction n'est pas continue
f : [1 , + ∞[ → [2 , 4[ ∪ [5 , + ∞[ strictement croissante

x + 1 si x ∈ [1 , 3[
{
x + 2 si x > 3


alors f–1
: [2 , 4[ ∪ [5 , + ∞[ → [1 , + ∞[ et f–1
est aussi strictement croissante.

x – 1 si x ∈ [2 , 4[
{
x – 2 si x ∈ [5 , + ∞[


Graphiquement :


On observe encore que les courbes représentatives des fonctions
et f–1
sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x

[invite2b14cd41]

Exemple : On considère la fonction n'est pas continue
f : [1 , + ∞[ → [2 , 4[ ∪ [5 , + ∞[ strictement croissante

x + 1 si x ∈ [1 , 3[
{
x + 2 si x > 3


alors f–1
: [2 , 4[ ∪ [5 , + ∞[ → [1 , + ∞[ et f–1
est aussi strictement croissante.

x – 1 si x ∈ [2 , 4[
{
x – 2 si x ∈ [5 , + ∞[


Graphiquement :


On observe encore que les courbes représentatives des fonctions
et f–1
sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x

Et alors? C'est bien une bijection...

[MAROMED]

mais on a besoin de la continuité pour que la fonction soit bijective?

[invite2b14cd41]

mais on a besoin de la continuité pour que la fonction soit bijective?

vous venez de prouver que non.

[Seirios]

De manière générale, on peut souvent s'arranger pour définir une réciproque d'une fonction f : on se place sur une partie X de l'ensemble de définition sur la quelle f est injective, et alors f définie une bijection de X sur f(X). C'est ce que tu as fait dans ton exemple.

[MAROMED]

Théorème : Soit f : I → f(I) une application strictement monotone (pas nécessairement continue). Alors son
application réciproque f
–1
existe et est strictement monotone, de même monotonie que f.

[MAROMED]

Remarque : Lorsque f n’est pas continue, l’application réciproque ne l’est pas non plus. De plus même si I est un
intervalle f(I) ne l’est pas forcément.