base d'une image d'une application linéaire ...

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Bonjour a tous, voila j'ai un probleme, j'ai du mal a trouver une base de l'image d'une application linéaire ....

exemple : trouver la base de im(f)

f une app de r3 dans r
v(x)=(x1,x2,x3), f(x) = (x1-x2, x2-x3, x3-x1)

imf ={f(x)/x appartient à E}

et la je sais pas comment faire ... en regardant les corrigé je comprend pas ... j'ai pas envie d'appliquer bêtement un raisonnement sans comprendre ... pouvez vous me dire pourquoi et comment démarrer ?

merci

ps : je sais que je dois d'abord trouver l'image de f apres je trouve la base facilement, mais je n'arrive pas a trouver l'image ...
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[invite57a1e779]

f(x) = (x1-x2, x2-x3, x3-x1)
imf ={f(x)/x appartient à E}

Les éléments de l'image de sont donc les :

.

ce qui fournit une famille génératrice de l'image de [/TEX] constituée de :

, ,

et il reste à extraire de une famille libre qui soit une base de l'image de .

[inviteaa7fccc7]

merci beaucoup je comprend beaucoup mieux cette facon de faire !

[inviteaa7fccc7]

merci de m'avoir aidé, j'ai un exercice que j'ai résolu, mais pas comme la correction ... je voudrais savoir si c'est bon ou pas ...

l'exercice est en piece jointe, la question c'est la 2)

voila comment je procède :

je montre en plusieurs étape deja que KER(f)nIMG(f) = {o}. ca pas de problème.

puis KER(f)nIMG(f) est inclu dans E. idem pas de problèmes.

et pour finir que E est inclu dans KER(f)nIMG(f).

alors voila comment je procède pour cette dernière etape:

soit x appartient a E. on peut dire que x= x + g(x) - g(x)

or g(x) appartient a IM(F).

g( x - g(x)) = g(x) - g(g(x)).

or g(g(x)) = g(x3,x2,x3) = (x3,x2,X3) = g(x)

donc g( x - g(x)) = g(x) - g(x) = 0 donc x - g(x) appartient au noyau.

donc x appartient a KERF+IMF.

donc E appartient a KERF+IMF.


Alors est-ce bon comme méthode ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa7fccc7]

je crois que ca serait plus pratique avec la piece jointe ...