noyau et image d'une application lineaire

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

voila le theoreme:
f est injective si et seulement si ker f={0E}

voici maintenant la reciproque de la demonstration:
supposons ker f = {0E} soit (x,y) appartient à E2 tel que f(x)=f(y) alors f(x-y) =0F donc x-y app à ker f et par consequent x-y=0E f est donc injective.

ce que je ne comprend pas c'est le passage de f(x)=f(y) à f(x-y)=0F

moi j'ai bien envie d'utiliser les proprietés f(x+y)= f(x) + f(y) et aussi f(-x)=-f(x) ce qui donnerait f(x)-f(y)=0F --->f(x) + f(-y)=0F--->f(x-y)=0F.


mais je crois bien que je me suis trompé .pourriez vous m'expliquer?


merci par avance.
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[invite07dd2471]

dans la réciproque, tu pars de kerf=0E et tu veux montrer f injective

définition de f injective : quelque soit (x,y) appartenant à IR², f(x)=f(y)=>x=y

donc tu prends x et y
tu écris f(x)=f(y) donc f(x)-f(y)=0F donc f(x-y)=0F (car f est linéaire)
donc x-y appartient à kerf
or hypothèse de départ kerf=0E donc x-y=0E
donc x=y

tu as au final montré que f(x)=f(y)=>x=y donc que f est injective

[invite07dd2471]

en relisant ce que tu as écris si je comprends ce que tu veux dire tu ne t'es pas trompé

tu fais passer ton f(y) dans le membre de gauche

tu as donc f(x)-f(y)=0F

et comme f est linéaire f(ax)=af(x) donc en prenant a=-1 tu as bien f(-y)=-f(y)

donc f(x)-f(y)=f(x)+f(-y) et toujours par proriété de linéarité = f(x+(-y))=f(x-y) et tu déroules

[invite69d45bb4]

ok merci beaucoup.

ah et j'allais oublier aurait tu des sites sur la transformée de laplace avec des dessins de shema et tout ça?

merci par avance

[A voir en vidéo sur Futura]