espace vectoriel: noyau d'une application linéaire

[invite31888f65]

plein de bonne volonté, je révise mon algèbre, et je bute sur le noyau d'une application linéaire...
si quelqu'un pouvait m'expliquer ce que c'est, ce que ça représente ce fameux noyaux, peut être je comprendrai ces 2 propriétés::

soit f un élément de l'ensemble des applications linéaires de E vers E':
1) Ker f = {x ∈ E | f(x) = 0 }
2) f est une application injective si et seulement si Ker f = {0}

ps: notre prof nous dit souvent que le "0" en question dans la propriété n'est pas le même "0" que l'élément neutre pour l'addition dans C, que représente ce "0" alors??

merci d'avance
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[invite769a1844]

plein de bonne volonté, je révise mon algèbre, et je bute sur le noyau d'une application linéaire...
si quelqu'un pouvait m'expliquer ce que c'est, ce que ça représente ce fameux noyaux, peut être je comprendrai ces 2 propriétés::

soit f un élément de l'ensemble des applications linéaires de E vers E':
1) Ker f = {x ∈ E | f(x) = 0 }
2) f est une application injective si et seulement si Ker f = {0}

ps: notre prof nous dit souvent que le "0" en question dans la propriété n'est pas le même "0" que l'élément neutre pour l'addition dans C, que représente ce "0" alors??

merci d'avance

Salut,

la première propriété est la définition du noyau de f.

Ici 0 est le vecteur nul de E'. C'est donc un élément de E', mais ce n'est en général pas un élément de C (excepté si E'=C, ce qui est un cas très particulier).

[invitec053041c]

Comme f va de E dans E', alors le 0 en question est le vecteur nul de l'espace vectoriel d'arrivée E'.

Si E'=IR², le 0 en question est en fait (0,0).
Si E'=IR[X] , l'ensemble des polynômes à coefficients réels, alors le 0 en question est le polynôme nul P=0.

EDIT: grillé !

[invite88856472]

La propriété 2 te paraitra peut-être un peu moins mystérieuse en te rapellant

1) qu'une application est dite injective si tout élement de E' admet au plus un antécedent par elle.
2) que puisque f est linéaire, tu as seulement deux possibilités pour l'ensemble des antécedents d'un élement b de E' : soit il est vide,
soit tu as au moins un antécedent a, et alors tout autre antécedent de b est de la forme a + k, où k est un élement du noyau (montre cela en exercice).

Il devient alors clair que pour f, n'avoir que 0 dans son noyau revient à ce que l'ensemble des antécedents de b (si il y en a) se réduit à un seul élement a, ce qui revient à ce qu'elle soit injective.

Salut

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31888f65]

merci je crois que j'ai saisis....
je verrai ça en exercice!!!
merci du coup de patte!!

[invite31888f65]

euh en fait si j'ai bien compris, lorsqu'on veut prouver qu'une application linéaire est injective,
on montre que Ker f = 0
donc d'après la définition du noyaux, on résout f(x)=0
mais, fatalement, on va trouver que f(x)=0 lorsque x=0
d'après la définiton d'une application linéaire, nan???
je suis dans le juste ou je délire???

[invitec053041c]

Attention !

On sait que si f linéaire, on a toujours f(0)=0.

Mais on n'est pas certain qu'il y ait que 0 qui donne 0..

Par exemple l'application:


On a , car f(1,1)=1-1=0

Donc Ker(f) n'est pas réduit à {0} ici puisqu'il contient aussi (1,1).

[invite31888f65]

achhhh so, merci pour l'exemple, c'est limpide!!!
je me méfierai!!