Espace vectoriel, application linéaire

[invite8301f99a]

Bonjour, voilà j'ai un exercice que j'essaye de résoudre & j'aurais besoin d'aide.

Donc j'ai une application linéaire de qui à associe

Pour le moment mon but est de montrer que est un isomorphisme et d'expliciter l'isomorphisme réciproque.

Donc j'ai commencé mais je suis pas sur que ma démarche soit bonne et puis je bloque pour l'isomorphisme réciproque.

Pour montrer que c'est un isomorphisme j'ai dit que étant une application linéaire de c'est un endomorphisme. Ensuite j'ai calculé le noyau de avec le pivot de Gauss & j'ai trouvé que avec l'élément neutre de . Donc j'en ai déduit que est injective, donc surjective, donc bijective. Je suis pas trés sur de la validité de ce raisonnement.

Aprés je sais pas pour la réciproque :$
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[inviteb85b19ce]

Salut (c'est mon premier post),

Pour la démo de l'isomorphisme, c'est correct. En effet, l'injectivité et l'égalité des dimensions suffisent pour des ev de dimension finie.

Pour la réciproque, calcule tout simplement l'inverse de la matrice de f.
Tu vérifies en même temps qu'elle est inversible en calculant son déterminant (= 4).

[invite8301f99a]

Merci, peux-tu m'expliquer le calcul du déterminant pour une matrice carrée n*n avec n >= 3

[inviteb85b19ce]

Arg! ça va être dur d'expliquer pour n quelconque, donc je te renvoie au lien fourni dans la bibliothèque de maths : LINK.
Le calcul pratique du det est expliqué au §11, de même que le calcul rapide de l'inverse d'une matrice en passant par la co-matrice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea77054e9]

Salut (c'est mon premier post),
....

Tu vérifies en même temps qu'elle est inversible en calculant son déterminant (= 4).

Salut, et bienvenu sur le forum .

L'inversibilité n'a-t-elle pas déjà été vérifiée en montrant que f est bijective?
Sinon, il y a la règle de Sarrus qui explicite le déterminant d'une matrice (aij) pour 1<=i,j<=3 comme suit:
a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a2 1*a32-a13*a22*a31-a11*a23*a32-a12*a21*a33 (désolé pour la présentation, c'est assez horrible je l'avoue!).

Sinon, pour calculer l'inverse d'une matrice, il y a une technique bien pratique pour les matrices d'ordre petit, effectuer des opérations élèmentaires sur la-dite matrice pour obtenir la matrice identité, et effectuer ces mêmes opérations sur la matrice idendité...on obtient alors l'inverse de la matrice considérée. Je ne sais plus quel nom porte cette technique.

[inviteb85b19ce]

Salut, et bienvenu sur le forum .

L'inversibilité n'a-t-elle pas déjà été vérifiée en montrant que f est bijective?

Merci pour l'accueil.
Oui, quand j'ai employé "vérifier" c'était dans le sens "oh tiens! elle est donc bien inversible... comme prévu"

C'est pas la méthode de Cramer pour ton calcul de l'inverse?
En tout cas, moi je préfère (1/det) * transposée de la co-matrice

[invitea77054e9]

En tout cas, moi je préfère (1/det) * transposée de la co-matrice

Oui, mais quand tu dois calculer l'inverse d'une matrice 6*6, par exemple, ça devient de suite beaucoup moins réjouissant .

[invitedf667161]

Beaucoup moins en effet.
Dans ces cas-là (disons n>=4) il est peut-être préférable de commencer par voir si le système nxn est pas résoluble assez facilement à coup substitution et patati et patata.