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Espace vectoriel, application linéaire



  1. #1
    Shanebibi

    Espace vectoriel, application linéaire


    ------

    Bonjour, voilà j'ai un exercice que j'essaye de résoudre & j'aurais besoin d'aide.

    Donc j'ai une application linéaire de qui à associe

    Pour le moment mon but est de montrer que est un isomorphisme et d'expliciter l'isomorphisme réciproque.

    Donc j'ai commencé mais je suis pas sur que ma démarche soit bonne et puis je bloque pour l'isomorphisme réciproque.

    Pour montrer que c'est un isomorphisme j'ai dit que étant une application linéaire de c'est un endomorphisme. Ensuite j'ai calculé le noyau de avec le pivot de Gauss & j'ai trouvé que avec l'élément neutre de . Donc j'en ai déduit que est injective, donc surjective, donc bijective. Je suis pas trés sur de la validité de ce raisonnement.

    Aprés je sais pas pour la réciproque :$

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Odie

    Re : Espace vectoriel, application linéaire

    Salut (c'est mon premier post),

    Pour la démo de l'isomorphisme, c'est correct. En effet, l'injectivité et l'égalité des dimensions suffisent pour des ev de dimension finie.

    Pour la réciproque, calcule tout simplement l'inverse de la matrice de f.
    Tu vérifies en même temps qu'elle est inversible en calculant son déterminant (= 4).

  4. #3
    Shanebibi

    Re : Espace vectoriel, application linéaire

    Merci, peux-tu m'expliquer le calcul du déterminant pour une matrice carrée n*n avec n >= 3

  5. #4
    Odie

    Re : Espace vectoriel, application linéaire

    Arg! ça va être dur d'expliquer pour n quelconque, donc je te renvoie au lien fourni dans la bibliothèque de maths : LINK.
    Le calcul pratique du det est expliqué au §11, de même que le calcul rapide de l'inverse d'une matrice en passant par la co-matrice.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    evariste_galois

    Re : Espace vectoriel, application linéaire

    Citation Envoyé par Odie
    Salut (c'est mon premier post),
    ....

    Tu vérifies en même temps qu'elle est inversible en calculant son déterminant (= 4).
    Salut, et bienvenu sur le forum .

    L'inversibilité n'a-t-elle pas déjà été vérifiée en montrant que f est bijective?
    Sinon, il y a la règle de Sarrus qui explicite le déterminant d'une matrice (aij) pour 1<=i,j<=3 comme suit:
    a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a2 1*a32-a13*a22*a31-a11*a23*a32-a12*a21*a33 (désolé pour la présentation, c'est assez horrible je l'avoue!).

    Sinon, pour calculer l'inverse d'une matrice, il y a une technique bien pratique pour les matrices d'ordre petit, effectuer des opérations élèmentaires sur la-dite matrice pour obtenir la matrice identité, et effectuer ces mêmes opérations sur la matrice idendité...on obtient alors l'inverse de la matrice considérée. Je ne sais plus quel nom porte cette technique.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  8. #6
    Odie

    Re : Espace vectoriel, application linéaire

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Salut, et bienvenu sur le forum .

    L'inversibilité n'a-t-elle pas déjà été vérifiée en montrant que f est bijective?
    Merci pour l'accueil.
    Oui, quand j'ai employé "vérifier" c'était dans le sens "oh tiens! elle est donc bien inversible... comme prévu"

    C'est pas la méthode de Cramer pour ton calcul de l'inverse?
    En tout cas, moi je préfère (1/det) * transposée de la co-matrice

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  10. #7
    evariste_galois

    Re : Espace vectoriel, application linéaire

    Citation Envoyé par Odie
    En tout cas, moi je préfère (1/det) * transposée de la co-matrice
    Oui, mais quand tu dois calculer l'inverse d'une matrice 6*6, par exemple, ça devient de suite beaucoup moins réjouissant .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  11. #8
    GuYem

    Re : Espace vectoriel, application linéaire

    Beaucoup moins en effet.
    Dans ces cas-là (disons n>=4) il est peut-être préférable de commencer par voir si le système nxn est pas résoluble assez facilement à coup substitution et patati et patata.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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