bonjour
voilà l'énoncé qui me pose probleme :
Pour n ds N, on considere la division euclidienne polynomiale de X^n par (X^3 -6X).
ON pose Rn(reste)= aX²+ bX+ c
question :
Préciser le plus possible l'ensemble auquel appartiennent a, b, c (Z,Q, R, C ?)
je ne vois pas comment répondre à une telle question. J'ai envie de dire que a, b, c appartiennent à Z, ms je ne sais pas comment le prouver.
je vous remercie de me mettre sur la voie
Tu peux procéder par itération avec comme hypothèse :
Il existe deux polynômes à coefficients dans Z, Q et R deg(R)<=n-k, pour k compris entre 0 et n-2, tels que
Xn=(X3-6X)Q(X)+R(X)
C'est vrai pour k=0 car...
Si c'est vrai pour un k compris entre 0 et n-3 alors c'est vrai pour k+1 car...
EDIT : en procédant de la même manière mais en changeant l'hypothèse on peut montrer que a,b et c sont dans N.
je n'ai pas tout compris...
les deux polynomes dont tu parles, c'est Q(X) et R(X), c'est cela ?
k est une variable muette,n'est ce pas ?
pourquoi k est compris entre n et n-2 ?
merci
En gros, les Q et R sont les quotients et restes successifs quand on effectue la division euclidienne :Envoyé par vince3001
Xn=(X3-6X).0+Xn (étape k=n)
Xn=(X3-6X).Xn-3+6Xn-2 (étape k=n-1 mais aussi n-2, Q=Xn-3, R=6Xn-2)
Xn=(X3-6x).(Xn-3+6Xn-5)+36Xn-4 (étape k=n-3 et n-4)
...
je crois comprendre la premiere ligne :
vu que R est de degré n, alors R = X^n
cependant à la 2eme je ne comprend plus...pourrais tu détailler davantage?
merci
